Номер 643, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

643. Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой $a$ является:

1) прямая $a$;

2) прямая $b$, параллельная прямой $a$?

Параллельный перенос на плоскости — это преобразование, при котором каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+v_x, y+v_y)$, где вектор $\vec{v} = (v_x, v_y)$ является вектором переноса. Важным свойством параллельного переноса является то, что образом любой прямой является прямая, ей параллельная.

1) прямая a

Рассмотрим, сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой $a$ является сама прямая $a$.

Пусть $T$ — параллельный перенос на вектор $\vec{v}$. По условию, образом прямой $a$ при этом переносе является сама прямая $a$, то есть $T(a) = a$.

Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей прямой $a$, её образ $M' = T(M)$ также должен принадлежать прямой $a$.

Пусть точка $M$ переходит в точку $M'$. Тогда по определению параллельного переноса, вектор $\vec{MM'} = \vec{v}$.

Поскольку обе точки, $M$ и $M'$, лежат на одной и той же прямой $a$, то вектор $\vec{MM'}$, соединяющий их, должен быть параллелен этой прямой. Следовательно, вектор переноса $\vec{v}$ должен быть параллелен прямой $a$.

Любой вектор, параллельный прямой $a$, задаёт параллельный перенос, который переводит прямую $a$ в себя. Направляющий вектор прямой $a$ задаёт направление. Вектор переноса может иметь это направление (или противоположное) и любую возможную длину (модуль). Множество всех векторов, параллельных данной прямой, является бесконечным. Например, если $\vec{u}$ — один такой ненулевой вектор, то любой вектор вида $k\vec{u}$, где $k$ — любое действительное число, также будет параллелен прямой $a$.

Каждому такому вектору соответствует уникальный параллельный перенос. Так как существует бесконечное множество векторов, параллельных прямой $a$, то существует и бесконечное множество таких параллельных переносов.

Ответ: существует бесконечно много таких параллельных переносов.

2) прямая b, параллельная прямой a

Рассмотрим, сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой $a$ является прямая $b$, параллельная прямой $a$ ($b \parallel a$).

Случай, когда прямые $a$ и $b$ совпадают ($a = b$), был рассмотрен в пункте 1. В этом случае существует бесконечно много таких переносов.

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ различны ($a \neq b$).

Пусть $T$ — параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, который переводит прямую $a$ в прямую $b$, то есть $T(a) = b$.

Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей прямой $a$, её образ $M' = T(M)$ должен принадлежать прямой $b$.

Выберем произвольную точку $M_0$ на прямой $a$. При искомом переносе $T$ она должна перейти в некоторую точку $N_0$ на прямой $b$. Вектор переноса тогда будет равен $\vec{v} = \vec{M_0N_0}$.

Покажем, что любой перенос, заданный вектором $\vec{v} = \vec{MN}$, где $M$ — любая точка на прямой $a$, а $N$ — любая точка на прямой $b$, переводит прямую $a$ в прямую $b$.

Образом прямой $a$ при переносе на вектор $\vec{v}$ будет прямая $a'$, параллельная прямой $a$. Так как по условию $b \parallel a$, то $a' \parallel b$.

Кроме того, точка $M$ с прямой $a$ переходит в точку $N$ ($T(M)=N$). Значит, точка $N$ принадлежит прямой $a'$. Но точка $N$ также принадлежит и прямой $b$. Таким образом, параллельные прямые $a'$ и $b$ имеют общую точку $N$. Это возможно только в том случае, если они совпадают, то есть $a' = b$.

Следовательно, любой вектор, соединяющий произвольную точку на прямой $a$ с произвольной точкой на прямой $b$, задаёт подходящий параллельный перенос.

Теперь определим, сколько существует таких различных векторов. Зафиксируем одну точку $M_0$ на прямой $a$. Каждой точке $N$ на прямой $b$ будет соответствовать уникальный вектор переноса $\vec{v} = \vec{M_0N}$. Поскольку на прямой $b$ существует бесконечно много точек, то существует и бесконечно много различных векторов переноса, которые переводят прямую $a$ в прямую $b$.

Каждому такому вектору соответствует уникальный параллельный перенос. Следовательно, существует бесконечное множество параллельных переносов, переводящих прямую $a$ в параллельную ей прямую $b$.

Ответ: существует бесконечно много таких параллельных переносов.