Номер 647, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос. Глава 5. Геометрические преобразования - номер 647, страница 158.

Условие.

647. Даны точки $A(3; -2)$ и $B(5; -4)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $AB$ является точка $M_1(-4; 3)$. Найдите образы точек $A$ и $B$ при таком параллельном переносе.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение координат середины отрезка AB
Пусть точка $M(x_M; y_M)$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим координаты данных точек $A(3; -2)$ и $B(5; -4)$:
$x_M = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_M = \frac{-2 + (-4)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Таким образом, середина отрезка $AB$ — это точка $M(4; -3)$.

Определение вектора параллельного переноса
Параллельный перенос, который переводит точку $(x; y)$ в точку $(x'; y')$, задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(a; b)$ — координаты вектора переноса.
По условию задачи, образом точки $M(4; -3)$ является точка $M_1(-4; 3)$. Найдем компоненты вектора переноса $a$ и $b$:
$x_{M_1} = x_M + a \implies -4 = 4 + a \implies a = -4 - 4 = -8$
$y_{M_1} = y_M + b \implies 3 = -3 + b \implies b = 3 + 3 = 6$
Следовательно, параллельный перенос задан вектором с координатами $(-8; 6)$.

Нахождение образа точки A
Применим найденный вектор переноса $(-8; 6)$ к точке $A(3; -2)$. Пусть $A_1(x_{A_1}; y_{A_1})$ — образ точки $A$.
$x_{A_1} = x_A + a = 3 + (-8) = -5$
$y_{A_1} = y_A + b = -2 + 6 = 4$
Ответ: образ точки $A$ — это точка $A_1(-5; 4)$.

Нахождение образа точки B
Применим тот же вектор переноса $(-8; 6)$ к точке $B(5; -4)$. Пусть $B_1(x_{B_1}; y_{B_1})$ — образ точки $B$.
$x_{B_1} = x_B + a = 5 + (-8) = -3$
$y_{B_1} = y_B + b = -4 + 6 = 2$
Ответ: образ точки $B$ — это точка $B_1(-3; 2)$.