Номер 644, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

644. Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является окружность.

Для того чтобы преобразовать фигуру, состоящую из всех точек сторон прямоугольника, в окружность, можно использовать преобразование, которое называется центральной проекцией. Опишем это преобразование по шагам:

1. Выберем центр преобразования. Удобнее всего взять в качестве центра точку пересечения диагоналей прямоугольника (его центр симметрии). Обозначим эту точку $O$ и поместим ее в начало координат $(0, 0)$ на плоскости.
2. Выберем произвольный положительный радиус $R$ для окружности, в которую мы хотим преобразовать прямоугольник. Центр этой окружности будет совпадать с центром преобразования, то есть с точкой $O$.
3. Рассмотрим любую точку $M$, принадлежащую одной из сторон прямоугольника.
4. Проведем луч, исходящий из центра $O$ и проходящий через точку $M$.
5. Образом точки $M$ при нашем преобразовании будет точка $M'$, которая является точкой пересечения луча $OM$ и окружности радиуса $R$ с центром в точке $O$.

Данное преобразование устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками на сторонах прямоугольника и точками на окружности. Таким образом, весь контур прямоугольника преобразуется в окружность.

Математически это преобразование можно описать так: пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а ее образ $M'$ — координаты $(x', y')$. Тогда координаты точки $M'$ вычисляются по формулам:

$x' = \frac{R \cdot x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$y' = \frac{R \cdot y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

где $R$ — радиус итоговой окружности.

Ответ: Преобразование, при котором образом фигуры, состоящей из всех точек сторон прямоугольника, является окружность, — это центральная проекция контура прямоугольника на окружность из их общего центра. Для каждой точки $M$ на прямоугольнике ее образ $M'$ находится как точка пересечения луча $OM$ (где $O$ — центр прямоугольника) с окружностью заданного радиуса с центром в точке $O$.