Номер 674, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

674. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Пусть дан ромб $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По определению ромба, все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$). Из свойств ромба известно, что его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC$, $BO = OD$).

Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении (симметрии) относительно которой фигура отображается сама на себя. Чтобы доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии, необходимо показать, что при симметрии относительно каждой из этих прямых ромб переходит в себя.

1. Рассмотрим симметрию относительно прямой, содержащей диагональ $AC$.

При симметрии относительно прямой $AC$, любая точка, лежащая на этой прямой, отображается сама на себя. Следовательно, вершины $A$ и $C$ ромба переходят в себя.

Рассмотрим вершину $B$. По определению осевой симметрии, ее образом будет точка $B'$, такая, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$. Из свойств ромба мы знаем, что $BD \perp AC$ и $BO = OD$. Это означает, что прямая $AC$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $BD$. Следовательно, образом точки $B$ при симметрии относительно прямой $AC$ является точка $D$. Аналогично, образом точки $D$ является точка $B$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $AC$ вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $A, D, C, B$. Это означает, что ромб $ABCD$ отображается на ромб $ADCB$, то есть на самого себя. Значит, прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии ромба.

2. Рассмотрим симметрию относительно прямой, содержащей диагональ $BD$.

Рассуждая аналогично, при симметрии относительно прямой $BD$ вершины $B$ и $D$ отображаются сами на себя.

Так как $AC \perp BD$ и $AO = OC$, прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Следовательно, при симметрии относительно прямой $BD$ образом точки $A$ является точка $C$, а образом точки $C$ является точка $A$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $BD$ вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $C, B, A, D$. Это означает, что ромб $ABCD$ отображается на ромб $CBAD$, то есть на самого себя. Значит, прямая, содержащая диагональ $BD$, является осью симметрии ромба.

Мы доказали, что обе прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Ответ: Утверждение доказано.