Номер 4, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно точки?

Фигуры, симметричные относительно точки (такой вид симметрии называется центральной симметрией), обладают фундаментальным свойством: они равны (конгруэнтны) друг другу. Это главное свойство, из которого вытекают все остальные.

Рассмотрим это свойство и его следствия подробнее.

1. Центральная симметрия является движением (изометрией).
Движение в геометрии — это преобразование, которое сохраняет расстояния между точками. По определению, точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Можно доказать, что при таком преобразовании для любых двух точек $M$ и $N$ исходной фигуры и их симметричных образов $M'$ и $N'$ расстояние между ними сохраняется: $MN = M'N'$.
Поскольку центральная симметрия сохраняет расстояния, она также сохраняет:
- Длины отрезков.
- Величины углов.
- Площадь фигуры.
Следовательно, фигура, полученная в результате центральной симметрии, является точной копией исходной фигуры по форме и размеру, то есть эти фигуры равны.

2. Центральная симметрия эквивалентна повороту на 180°.
Преобразование центральной симметрии относительно точки $O$ можно также рассматривать как поворот фигуры на 180 градусов вокруг этой точки $O$. Если повернуть фигуру на пол-оборота вокруг центра симметрии, она полностью совпадет со своей симметричной копией.
Это свойство наглядно объясняет, почему, например, прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую, а прямая, проходящая через центр, переходит в саму себя.

Ответ: Основное свойство фигур, симметричных относительно точки, заключается в том, что они равны (конгруэнтны) друг другу. Это является следствием того, что центральная симметрия — это движение (изометрия), сохраняющее расстояния, которое также эквивалентно повороту на 180° вокруг центра симметрии.