Номер 8, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Сформулируйте свойство поворота.

Поворот плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что расстояние $OM$ равно расстоянию $OM'$ и угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$. Точка $O$ называется центром поворота, а угол $\alpha$ — углом поворота.

Основные свойства поворота:

• Поворот является движением (изометрией).

  Это фундаментальное свойство, означающее, что поворот сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Если точки $A$ и $B$ при повороте переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$ ($|AB| = |A'B'$).

  Следствия из этого свойства:

  • Поворот переводит прямые в прямые, лучи в лучи, отрезки в равные им отрезки.
  • Поворот переводит углы в равные им углы.
  • Поворот переводит любую фигуру в конгруэнтную ей фигуру.
• Единственная неподвижная точка — центр поворота.

  При повороте на угол $\alpha$, не кратный $360^\circ$ ($\alpha \neq n \cdot 360^\circ$, где $n$ — целое число), единственной точкой, которая остается на своем месте (переходит в себя), является центр поворота $O$. Если угол поворота кратен $360^\circ$, то преобразование является тождественным, и каждая точка плоскости неподвижна.

• Сохранение ориентации.

  Поворот является преобразованием первого рода, то есть он сохраняет ориентацию плоскости. Например, если обход вершин треугольника $ABC$ осуществлялся по часовой стрелке, то обход соответствующих вершин $A'B'C'$ в повернутом треугольнике также будет осуществляться по часовой стрелке.

• Композиция поворотов.

  Последовательное выполнение двух поворотов с общим центром $O$ на углы $\alpha$ и $\beta$ равносильно одному повороту с тем же центром $O$ на угол $\alpha + \beta$. Преобразование, обратное повороту на угол $\alpha$, является поворотом на угол $-\alpha$ вокруг того же центра.

Ответ: Основное свойство поворота заключается в том, что он является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками и, как следствие, переводит фигуры в конгруэнтные им фигуры. Другими важными свойствами являются наличие единственной неподвижной точки — центра поворота (при угле, не кратном 360°), и сохранение ориентации плоскости.