Номер 696, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

696. Начертите окружность и отметьте на ней точку. Постройте окружность, симметричную данной относительно отмеченной точки.

Для решения задачи необходимо выполнить пошаговое построение, основанное на свойствах центральной симметрии.

Начертите окружность и отметьте на ней точку.

С помощью циркуля и линейки начертим произвольную окружность. Обозначим ее центр точкой $O$, а ее радиус — переменной $R$. Затем на построенной окружности выберем и отметим произвольную точку $A$. Эта точка, по условию задачи, будет являться центром симметрии.

Постройте окружность, симметричную данной относительно отмеченной точки.

Окружность однозначно задается своим центром и радиусом. Чтобы построить новую окружность, симметричную исходной, нам нужно найти ее центр и радиус. Пусть искомая окружность имеет центр в точке $O'$ и радиус $R'$.

1. Нахождение центра $O'$.
По определению центральной симметрии, образ центра исходной окружности $O$ при симметрии относительно точки $A$ будет являться центром $O'$ новой окружности. Это означает, что точка $A$ — середина отрезка $OO'$.
Для построения точки $O'$ выполним следующие действия:
- Проведем прямую через точки $O$ и $A$.
- На этой прямой, от точки $A$, в направлении, противоположном точке $O$, отложим отрезок $AO'$, длина которого равна длине отрезка $OA$.
Поскольку точка $A$ лежит на окружности с центром $O$, расстояние $OA$ равно радиусу $R$. Таким образом, $AO' = OA = R$. Точка $O'$ найдена.

2. Определение радиуса $R'$.
Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть преобразованием плоскости, сохраняющим расстояния между точками. Это означает, что фигура, симметричная окружности, также является окружностью, причем ее радиус $R'$ равен радиусу $R$ исходной окружности. Следовательно, $R' = R$.

3. Построение искомой окружности.
Теперь у нас есть все данные для построения: центр $O'$ и радиус $R$. Установим острие циркуля в точку $O'$, зададим раствор циркуля равным радиусу $R$ и проведем окружность.
Эта новая окружность и будет симметричной данной относительно точки $A$. Заметим, что построенная окружность касается исходной в точке $A$.

Ответ: Чтобы построить окружность, симметричную данной окружности (с центром $O$ и радиусом $R$) относительно точки $A$ на ней, необходимо: 1) найти точку $O'$, симметричную центру $O$ относительно точки $A$ (для этого нужно продлить радиус $OA$ за точку $A$ на расстояние, равное $R$); 2) из точки $O'$ как из центра построить новую окружность с тем же радиусом $R$.