Номер 702, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

702. На рисунке 206 изображены два равных отрезка $MN$ и $NK$ такие, что $\angle MNK = 90^\circ$. Найдите точку $O$ такую, что отрезок $NK$ – это образ отрезка $MN$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $90^\circ$.

Согласно условию задачи, отрезок $NK$ является образом отрезка $MN$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $90°$. Поворот является движением, поэтому он сохраняет расстояния между точками. Это означает, что концы отрезка $MN$ должны перейти в концы отрезка $NK$.

Рассмотрим преобразование конечных точек отрезка. Наиболее естественным является предположение, что начальная точка первого отрезка ($M$) переходит в начальную точку второго ($N$), а конечная точка первого ($N$) — в конечную точку второго ($K$).

1. Точка $M$ переходит в точку $N$.
По определению поворота, если точка $M$ при повороте вокруг центра $O$ переходит в точку $N$, то расстояния от центра поворота до этих точек равны: $OM = ON$. Угол, образованный лучами $OM$ и $ON$, равен углу поворота: $\angle MON = 90°$. Таким образом, треугольник $\triangle MON$ является равнобедренным и прямоугольным.

2. Точка $N$ переходит в точку $K$.
Аналогично, если точка $N$ при повороте вокруг того же центра $O$ переходит в точку $K$, то $ON = OK$ и $\angle NOK = 90°$. Следовательно, треугольник $\triangle NOK$ также является равнобедренным и прямоугольным.

Из этих двух условий мы получаем, что $OM = ON = OK$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $\triangle MNK$, то есть $O$ является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Из условия задачи известно, что $\angle MNK = 90°$. Треугольник $\triangle MNK$ является прямоугольным. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MNK$ гипотенузой является сторона $MK$, так как она лежит напротив прямого угла $N$.

Следовательно, искомая точка $O$ является серединой гипотенузы $MK$.

Чтобы найти точку $O$, необходимо соединить точки $M$ и $K$ отрезком и найти его середину.

Ответ: Точка $O$ является серединой отрезка $MK$.