Номер 697, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

697. Постройте образ отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ против часовой стрелки на угол $45^\circ$ (рис. 201).

Рис. 201

Для построения образа отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $45^\circ$ против часовой стрелки необходимо выполнить поворот его концов, точек $A$ и $B$, а затем соединить полученные образы. Поворот — это геометрическое преобразование, при котором сохраняется расстояние от центра поворота до точки. То есть, если точка $A_1$ — это образ точки $A$ при повороте вокруг центра $O$, то $OA = OA_1$. Угол между отрезками $OA$ и $OA_1$ равен углу поворота.

Выполним построение по шагам:

1. Построение образа точки A
   • Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$, получаем отрезок $OA$.
   • С помощью транспортира откладываем от луча $OA$ угол, равный $45^\circ$, в направлении против часовой стрелки.
   • На полученном луче от точки $O$ откладываем отрезок $OA_1$, длина которого равна длине отрезка $OA$. Это можно сделать с помощью циркуля, установив его раствор равным длине $OA$. Точка $A_1$ — искомый образ точки $A$.
2. Построение образа точки B
   • Аналогично, соединяем точку $B$ с центром поворота $O$, получаем отрезок $OB$.
   • От луча $OB$ откладываем угол $45^\circ$ против часовой стрелки.
   • На новом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OB_1$, равный по длине отрезку $OB$. Точка $B_1$ — искомый образ точки $B$.
3. Построение образа отрезка AB
   • Соединяем полученные точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Отрезок $A_1B_1$ является искомым образом отрезка $AB$.

Для проверки и большей точности можно применить координатный метод.

Введем систему координат, в которой одна клетка сетки соответствует единице длины. Исходя из рисунка, координаты точек будут следующими:

• $A(1, 3)$
• $B(5, 4)$
• $O(4, 1)$

Формулы поворота точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки имеют вид:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Поскольку поворот осуществляется вокруг точки $O(4, 1)$, а не начала координат, мы сначала найдем векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, повернем их, а затем прибавим к координатам точки $O$, чтобы найти новые координаты точек $A_1$ и $B_1$.

$\vec{OA} = A - O = (1-4, 3-1) = (-3, 2)$

$\vec{OB} = B - O = (5-4, 4-1) = (1, 3)$

Выполним поворот векторов на угол $\alpha = 45^\circ$. Для этого угла $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поворачиваем вектор $\vec{OA}$ для получения вектора $\vec{OA_1}$:

$x_{A_1} = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$y_{A_1} = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Поворачиваем вектор $\vec{OB}$ для получения вектора $\vec{OB_1}$:

$x_{B_1} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$

$y_{B_1} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Теперь находим абсолютные координаты точек $A_1$ и $B_1$, прибавляя координаты точки $O$:

$A_1 = \vec{OA_1} + O = (-\frac{5\sqrt{2}}{2} + 4, -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \approx (0.46, 0.29)$

$B_1 = \vec{OB_1} + O = (-\sqrt{2} + 4, 2\sqrt{2} + 1) \approx (2.59, 3.83)$

Результат построения показан на рисунке ниже.

Ответ: Чтобы построить образ отрезка $AB$, необходимо повернуть его концы, точки $A$ и $B$, вокруг центра $O$ на угол $45^\circ$ против часовой стрелки, получив точки $A_1$ и $B_1$. Искомый образ — это отрезок $A_1B_1$, соединяющий новые точки.