Номер 703, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

703. Постройте фигуру, не имеющую осей симметрии, образом которой является сама эта фигура при повороте вокруг некоторой точки:

1) на угол $90^\circ$;

2) на угол $120^\circ$.

Для решения задачи необходимо построить фигуру, обладающую поворотной (вращательной) симметрией, но не имеющую осевой (зеркальной) симметрии. Это достигается путем выбора асимметричного базового элемента и его многократного поворота вокруг центра на заданный угол.

1) на угол 90°

Фигура должна совмещаться сама с собой при повороте на угол $90^{\circ}$ вокруг некоторой точки (центра симметрии). Это означает, что она обладает поворотной симметрией 4-го порядка, так как $360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$. При этом фигура не должна иметь осей симметрии.

Построение можно выполнить следующим образом:

1. Выберем на плоскости точку $O$ — центр поворота.
2. Создадим базовый асимметричный элемент. Например, построим ломаную линию $ABC$, где точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой.
3. Расположим этот элемент так, чтобы точка $O$ не принадлежала ему.
4. Выполним поворот элемента $ABC$ вокруг точки $O$ на угол $90^{\circ}$.
5. Повторим поворот еще дважды, на углы $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ относительно исходного положения.

Объединение исходного элемента и трех его копий, полученных в результате поворотов, образует искомую фигуру. По построению она будет симметрична относительно поворота на $90^{\circ}$. Так как исходный элемент асимметричен, у итоговой фигуры не будет осей симметрии.

Пример такой фигуры (похожей на вертушку или тетраскелион):

Ответ: Фигура, состоящая из любого асимметричного элемента (например, разностороннего треугольника или ломаной линии) и его образов, полученных поворотом на углы $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ вокруг некоторого центра. Пример такой фигуры приведен на рисунке выше.

2) на угол 120°

В этом случае фигура должна совмещаться сама с собой при повороте на угол $120^{\circ}$. Это означает, что она обладает поворотной симметрией 3-го порядка ($360^{\circ} / 120^{\circ} = 3$), но не должна иметь осей симметрии.

Алгоритм построения аналогичен предыдущему пункту:

1. Выберем на плоскости точку $O$ — центр поворота.
2. Создадим асимметричный базовый элемент, например, в виде изогнутой линии или разностороннего треугольника, не содержащего точку $O$.
3. Выполним поворот этого элемента вокруг точки $O$ на угол $120^{\circ}$.
4. Еще раз выполним поворот на $120^{\circ}$ (что эквивалентно повороту исходного элемента на $240^{\circ}$).

Фигура, образованная объединением исходного элемента и двух его повернутых копий, будет удовлетворять условиям задачи. Она обладает поворотной симметрией 3-го порядка по построению, но из-за асимметричности "мотива" лишена осевой симметрии.

Примером такой фигуры является трискелион:

Ответ: Фигура, состоящая из асимметричного элемента и его образов, полученных поворотом на углы $120^{\circ}$ и $240^{\circ}$ вокруг некоторого центра. Пример — трискелион, изображенный на рисунке выше.