Номер 710, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

является сама эта прямая.

710. Точки $A (x; -2)$ и $B (1; y)$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-1; 3)$.

Найдите $x$ и $y$.

1) начала координат

Две точки симметричны относительно начала координат, если начало координат является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Координаты середины отрезка $AB$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ вычисляются по формулам:
$x_{сер} = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_{сер} = \frac{y_A + y_B}{2}$

В данном случае точки $A(x; -2)$ и $B(1; y)$ симметричны относительно начала координат $O(0; 0)$. Следовательно, координаты точки $O$ являются средним арифметическим соответствующих координат точек $A$ и $B$.

Составим уравнения для каждой координаты:
Для абсциссы: $0 = \frac{x + 1}{2}$
Для ординаты: $0 = \frac{-2 + y}{2}$

Решим первое уравнение относительно $x$:
$x + 1 = 0 \cdot 2$
$x + 1 = 0$
$x = -1$

Решим второе уравнение относительно $y$:
$-2 + y = 0 \cdot 2$
$-2 + y = 0$
$y = 2$

Ответ: $x = -1$, $y = 2$.

2) точки M (-1; 3)

Если точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$, то $M$ является серединой отрезка $AB$.

Используем те же формулы для координат середины отрезка, где в качестве середины выступает точка $M(-1; 3)$.

Составим уравнения для координат:
Для абсциссы: $-1 = \frac{x + 1}{2}$
Для ординаты: $3 = \frac{-2 + y}{2}$

Решим первое уравнение относительно $x$:
$x + 1 = -1 \cdot 2$
$x + 1 = -2$
$x = -2 - 1$
$x = -3$

Решим второе уравнение относительно $y$:
$-2 + y = 3 \cdot 2$
$-2 + y = 6$
$y = 6 + 2$
$y = 8$

Ответ: $x = -3$, $y = 8$.