Номер 715, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

715. Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что некоторый треугольник $ABC$ имеет центр симметрии $O$.

По определению центральной симметрии, если фигура симметрична относительно некоторого центра $O$, то для любой точки $M$ этой фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре.

При симметрии многоугольник переходит сам в себя, а значит, и множество его вершин переходит в себя. То есть, для каждой вершины треугольника $ABC$ симметричная ей точка относительно $O$ также является одной из вершин этого же треугольника.

Рассмотрим два возможных случая расположения центра симметрии $O$:

1. Центр симметрии $O$ совпадает с одной из вершин, например, с вершиной $A$.

В этом случае точка, симметричная вершине $B$ относительно точки $A$, должна быть одной из вершин треугольника. Обозначим эту симметричную точку как $B'$. По определению симметрии, точка $A$ является серединой отрезка $BB'$. Так как $A$ и $B$ — разные вершины, то $B' \ne B$. Также $B' \ne A$. Следовательно, $B'$ может быть только вершиной $C$.

Аналогично, точка $C'$, симметричная вершине $C$ относительно $A$, может быть только вершиной $B$.

Таким образом, точка $A$ должна быть одновременно серединой отрезка $BC$ и серединой отрезка $CB$. Это означает, что вершина $A$ является серединой стороны $BC$. Но вершина треугольника не может лежать на середине противолежащей стороны. Мы пришли к противоречию.

2. Центр симметрии $O$ не совпадает ни с одной из вершин.

В этом случае для любой вершины, например $A$, симметричная ей точка $A'$ не может быть самой точкой $A$ (иначе $A$ была бы центром симметрии, что противоречит условию данного случая). Значит, $A'$ является другой вершиной.

Пусть точка, симметричная вершине $A$ относительно $O$, — это вершина $B$. Тогда $O$ является серединой отрезка $AB$. В таком случае точка, симметричная $B$ относительно $O$, — это вершина $A$.

Теперь рассмотрим третью вершину $C$. Симметричная ей точка $C'$ также должна быть вершиной треугольника. Поскольку вершины $A$ и $B$ уже "парные" друг другу, то для $C'$ остается единственная возможность: $C' = C$.

Но равенство $C' = C$ означает, что точка $C$ и есть центр симметрии $O$. Это противоречит нашему предположению в данном случае (что $O$ не совпадает ни с одной из вершин).

Все возможные случаи приводят к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что треугольник имеет центр симметрии, неверно.

Ответ: Утверждение доказано: треугольник не имеет центра симметрии.