Номер 720, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

720. Пусть вершина $A$ квадрата $ABCD$ является центром поворота против часовой стрелки на угол $90^\circ$. Найдите отрезок $CC_1$, где точка $C_1$ – образ точки $C$ при данном повороте, если $AB = 1 \text{ см}$.

Пусть дан квадрат $ABCD$. По определению квадрата, все его стороны равны и все углы прямые. Из условия известно, что $AB = 1$ см, следовательно, $BC = 1$ см, а угол $\angle ABC = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Диагональ квадрата $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее длину по теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AC = \sqrt{2}$ см.

По условию, точка $C_1$ является образом точки $C$ при повороте вокруг центра $A$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки. При повороте расстояние от центра поворота до любой точки фигуры сохраняется. Это означает, что расстояние от центра поворота $A$ до точки $C$ равно расстоянию от $A$ до ее образа $C_1$:
$AC_1 = AC = \sqrt{2}$ см.

Также, по определению поворота, угол, образованный отрезками, соединяющими центр поворота с исходной точкой и ее образом, равен углу поворота. Таким образом, угол $\angle CAC_1 = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CAC_1$. Мы знаем, что $AC = AC_1 = \sqrt{2}$ см и $\angle CAC_1 = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CAC_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Отрезок $CC_1$, длину которого необходимо найти, является гипотенузой этого треугольника.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CAC_1$:
$CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2$
$CC_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$
$CC_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.