Номер 718, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

718. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ симметричны относительно точки $O$ (рис. 212). Прямая, проходящая через центр симметрии, пересекает первую окружность в точках $A_1$ и $B_1$, а вторую — в точках $A_2$ и $B_2$.

Докажите, что $A_1B_1 = A_2B_2$.

Рис. 212

Доказательство

Пусть $C_1$ и $C_2$ — это две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. По условию, эти окружности симметричны относительно точки $O$. Обозначим преобразование центральной симметрии относительно точки $O$ как $S_O$. Тогда, по определению симметрии фигур, образом окружности $C_1$ при симметрии $S_O$ является окружность $C_2$, то есть $S_O(C_1) = C_2$.

Прямая, которую мы обозначим как $l$, проходит через центр симметрии $O$. Любая прямая, проходящая через центр симметрии, при этом преобразовании отображается на себя. Следовательно, $S_O(l) = l$.

Точки $A_1$ и $B_1$ являются точками пересечения прямой $l$ и окружности $C_1$. Множество этих точек можно записать как $\{A_1, B_1\} = l \cap C_1$. Аналогично, точки $A_2$ и $B_2$ являются точками пересечения прямой $l$ и окружности $C_2$, то есть $\{A_2, B_2\} = l \cap C_2$.

Применим преобразование симметрии $S_O$ к множеству точек пересечения $\{A_1, B_1\}$. Так как симметрия сохраняет операцию пересечения, образ пересечения равен пересечению образов: $S_O(\{A_1, B_1\}) = S_O(l \cap C_1) = S_O(l) \cap S_O(C_1)$.

Используя результаты, полученные ранее ($S_O(l) = l$ и $S_O(C_1) = C_2$), получаем: $S_O(l) \cap S_O(C_1) = l \cap C_2 = \{A_2, B_2\}$.

Таким образом, мы показали, что при центральной симметрии $S_O$ множество точек $\{A_1, B_1\}$ отображается на множество точек $\{A_2, B_2\}$. Это означает, что либо $S_O(A_1) = A_2$ и $S_O(B_1) = B_2$, либо $S_O(A_1) = B_2$ и $S_O(B_1) = A_2$.

Центральная симметрия является движением (изометрией), а это значит, что она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между точками $A_1$ и $B_1$ равно расстоянию между их образами, точками $S_O(A_1)$ и $S_O(B_1)$.

Длина отрезка $A_1B_1$ (хорды первой окружности) равна расстоянию $d(A_1, B_1)$. Длина отрезка $A_2B_2$ (хорды второй окружности) равна расстоянию $d(A_2, B_2)$. Так как $\{S_O(A_1), S_O(B_1)\} = \{A_2, B_2\}$, то расстояние между образами $d(S_O(A_1), S_O(B_1))$ равно расстоянию $d(A_2, B_2)$. Следовательно, $d(A_1, B_1) = d(S_O(A_1), S_O(B_1)) = d(A_2, B_2)$. Отсюда получаем $A_1B_1 = A_2B_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $A_1B_1 = A_2B_2$ доказано.