Номер 712, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

712. Медианы равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ (рис. 209). Укажите образы точек $C$, $C_1$ и $O$, стороны $BC$, медианы $BB_1$, отрезка $OC_1$, треугольника $A_1B_1C_1$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $120^\circ$.

Рис. 209

В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) являются также высотами и биссектрисами. Точка их пересечения $O$ является центром треугольника, то есть центром вписанной и описанной окружностей.

Поскольку точка $O$ — центр описанной окружности, расстояния от нее до вершин равны: $OA = OB = OC$. Углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, составляют $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^\circ$.

На рисунке вершины расположены в порядке $A, B, C$ против часовой стрелки. Следовательно, поворот на $120^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$ переводит вершины следующим образом: $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ и $C \rightarrow A$.

Образ точки C

Согласно установленному выше правилу, при повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки точка $C$ переходит в точку $A$.
Ответ: точка $A$.

Образ точки C₁

Точка $C_1$ — середина стороны $AB$. Образом отрезка $AB$ является отрезок, концами которого служат образы точек $A$ и $B$. Образ $A$ — это $B$, а образ $B$ — это $C$. Значит, отрезок $AB$ переходит в отрезок $BC$. Поворот является движением, поэтому образ середины отрезка есть середина образа отрезка. Серединой отрезка $BC$ является точка $A_1$. Таким образом, образом точки $C_1$ является точка $A_1$.
Ответ: точка $A_1$.

Образ точки O

Точка $O$ является центром поворота, следовательно, она неподвижна. Ее образ — она сама.
Ответ: точка $O$.

Образ стороны BC

Образом отрезка является отрезок, концами которого являются образы концов исходного отрезка. Образом точки $B$ является точка $C$. Образом точки $C$ является точка $A$. Следовательно, образом стороны $BC$ является сторона $CA$.
Ответ: сторона $CA$.

Образ медианы BB₁

Найдем образы концов медианы — точек $B$ и $B_1$. Образом точки $B$ является точка $C$. Точка $B_1$ — середина стороны $AC$. Образом стороны $AC$ является сторона $BA$ (так как $A \rightarrow B$ и $C \rightarrow A$). Серединой стороны $BA$ является точка $C_1$. Значит, образом точки $B_1$ является точка $C_1$. Таким образом, образом медианы $BB_1$ является отрезок $CC_1$, то есть медиана $CC_1$.
Ответ: медиана $CC_1$.

Образ отрезка OC₁

Найдем образы концов отрезка — точек $O$ и $C_1$. Образом точки $O$ является сама точка $O$. Образом точки $C_1$ является точка $A_1$ (как было показано выше). Следовательно, образом отрезка $OC_1$ является отрезок $OA_1$.
Ответ: отрезок $OA_1$.

Образ треугольника A₁B₁C₁

Найдем образы вершин треугольника $A_1, B_1, C_1$.

• Образ точки $A_1$ (середина $BC$): сторона $BC$ переходит в $CA$, значит, ее середина $A_1$ переходит в середину $CA$, то есть в точку $B_1$.
• Образ точки $B_1$ (середина $CA$): сторона $CA$ переходит в $AB$, значит, ее середина $B_1$ переходит в середину $AB$, то есть в точку $C_1$.
• Образ точки $C_1$ (середина $AB$): сторона $AB$ переходит в $BC$, значит, ее середина $C_1$ переходит в середину $BC$, то есть в точку $A_1$.

Вершины треугольника $A_1B_1C_1$ переходят в вершины $B_1, C_1, A_1$. Таким образом, треугольник $A_1B_1C_1$ переходит в треугольник $B_1C_1A_1$, то есть отображается сам на себя.
Ответ: треугольник $A_1B_1C_1$.