Страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

709. Докажите, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая.

Пусть $O$ — центр симметрии, а прямая $l$ проходит через точку $O$. Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что $O$ является серединой отрезка $AA'$. Образом прямой $l$ при этом преобразовании является множество $l'$, состоящее из всех точек-образов для каждой точки на прямой $l$. Нам нужно доказать, что $l' = l$.

Для доказательства равенства двух множеств ($l$ и $l'$) необходимо доказать два взаимных включения: $l' \subseteq l$ и $l \subseteq l'$.

1. Докажем, что $l' \subseteq l$ (любая точка образа принадлежит исходной прямой).
Пусть $A'$ — произвольная точка из $l'$. По определению образа, существует точка $A$ на прямой $l$ такая, что $A'$ является образом $A$ при симметрии относительно $O$. По определению центральной симметрии, точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой. Поскольку по условию точки $A$ и $O$ принадлежат прямой $l$, то и точка $A'$, лежащая на той же прямой, также принадлежит $l$. Так как $A'$ — любая точка из $l'$, то это справедливо для всех точек образа, и, следовательно, $l' \subseteq l$.

2. Докажем, что $l \subseteq l'$ (любая точка исходной прямой принадлежит ее образу).
Пусть $B$ — произвольная точка на прямой $l$. Найдем для нее прообраз, то есть такую точку $C$, что $B$ является ее образом при симметрии относительно $O$. Такой точкой является точка $C$, симметричная $B$ относительно $O$. Нам нужно убедиться, что точка $C$ также лежит на прямой $l$. По определению симметрии, точки $C$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Так как точки $B$ и $O$ принадлежат прямой $l$, то и точка $C$ принадлежит этой же прямой $l$. Таким образом, для любой точки $B$ на прямой $l$ мы нашли прообраз $C$, также лежащий на прямой $l$. Это означает, что любая точка прямой $l$ является образом некоторой точки этой же прямой, а значит, принадлежит множеству $l'$. Следовательно, $l \subseteq l'$.

Так как мы доказали, что $l' \subseteq l$ и $l \subseteq l'$, то множества $l$ и $l'$ совпадают. Это означает, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

является сама эта прямая.

710. Точки $A (x; -2)$ и $B (1; y)$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-1; 3)$.

Найдите $x$ и $y$.

1) начала координат

Две точки симметричны относительно начала координат, если начало координат является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Координаты середины отрезка $AB$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ вычисляются по формулам:
$x_{сер} = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_{сер} = \frac{y_A + y_B}{2}$

В данном случае точки $A(x; -2)$ и $B(1; y)$ симметричны относительно начала координат $O(0; 0)$. Следовательно, координаты точки $O$ являются средним арифметическим соответствующих координат точек $A$ и $B$.

Составим уравнения для каждой координаты:
Для абсциссы: $0 = \frac{x + 1}{2}$
Для ординаты: $0 = \frac{-2 + y}{2}$

Решим первое уравнение относительно $x$:
$x + 1 = 0 \cdot 2$
$x + 1 = 0$
$x = -1$

Решим второе уравнение относительно $y$:
$-2 + y = 0 \cdot 2$
$-2 + y = 0$
$y = 2$

Ответ: $x = -1$, $y = 2$.

2) точки M (-1; 3)

Если точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$, то $M$ является серединой отрезка $AB$.

Используем те же формулы для координат середины отрезка, где в качестве середины выступает точка $M(-1; 3)$.

Составим уравнения для координат:
Для абсциссы: $-1 = \frac{x + 1}{2}$
Для ординаты: $3 = \frac{-2 + y}{2}$

Решим первое уравнение относительно $x$:
$x + 1 = -1 \cdot 2$
$x + 1 = -2$
$x = -2 - 1$
$x = -3$

Решим второе уравнение относительно $y$:
$-2 + y = 3 \cdot 2$
$-2 + y = 6$
$y = 6 + 2$
$y = 8$

Ответ: $x = -3$, $y = 8$.

711. На рисунке 208 изображены фигуры, составленные из равных полукругов. Какие из этих фигур при некотором повороте на угол $\alpha$, где $0^{\circ} < \alpha \le 180^{\circ}$, вокруг точки $O$ совпадают со своими образами?

Рис. 208

а

б

в

г

д

е

Чтобы фигура совпала со своим образом при повороте вокруг точки O на угол $α$, где $0° < α ≤ 180°$, она должна обладать вращательной симметрией на этот угол. Проанализируем каждую фигуру:

а) Данная фигура состоит из двух полукругов и обладает центральной симметрией относительно точки O. Это означает, что она совпадает сама с собой при повороте на $180°$. Угол $α = 180°$ удовлетворяет заданному условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 180°$.

б) Фигура состоит из четырех одинаковых полукругов, расположенных симметрично вокруг центра. Она обладает вращательной симметрией 4-го порядка. Это значит, что фигура совпадет сама с собой при повороте на угол $360°/4 = 90°$. Угол $α = 90°$ удовлетворяет условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 90°$.

в) Фигура обладает центральной симметрией относительно точки O. При повороте на $180°$ верхний полукруг переходит в нижний, а левый — в правый, и наоборот. Вся фигура в целом совпадает со своим исходным положением. Угол $α = 180°$ удовлетворяет условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 180°$.

г) Фигура симметрична только относительно вертикальной оси. При любом повороте на угол $α$ в диапазоне $0° < α ≤ 180°$ она не совпадет со своим исходным положением. Например, при повороте на $180°$ полукруги окажутся под горизонтальной осью, а не над ней.
Ответ: не совпадает.

д) Фигура состоит из трех одинаковых полукругов, расположенных симметрично вокруг центра. Она обладает вращательной симметрией 3-го порядка. Фигура совпадет сама с собой при повороте на угол $360°/3 = 120°$. Угол $α = 120°$ удовлетворяет условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 120°$.

е) Фигура не обладает вращательной симметрией для углов в заданном диапазоне. При любом повороте на угол $α$ ($0° < α ≤ 180°$) она не совпадет со своим исходным положением. Например, при повороте на $180°$ верхний полукруг окажется внизу, а правый — слева.
Ответ: не совпадает.

712. Медианы равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ (рис. 209). Укажите образы точек $C$, $C_1$ и $O$, стороны $BC$, медианы $BB_1$, отрезка $OC_1$, треугольника $A_1B_1C_1$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $120^\circ$.

Рис. 209

В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) являются также высотами и биссектрисами. Точка их пересечения $O$ является центром треугольника, то есть центром вписанной и описанной окружностей.

Поскольку точка $O$ — центр описанной окружности, расстояния от нее до вершин равны: $OA = OB = OC$. Углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, составляют $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^\circ$.

На рисунке вершины расположены в порядке $A, B, C$ против часовой стрелки. Следовательно, поворот на $120^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$ переводит вершины следующим образом: $A \rightarrow B$, $B \rightarrow C$ и $C \rightarrow A$.

Образ точки C

Согласно установленному выше правилу, при повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки точка $C$ переходит в точку $A$.
Ответ: точка $A$.

Образ точки C₁

Точка $C_1$ — середина стороны $AB$. Образом отрезка $AB$ является отрезок, концами которого служат образы точек $A$ и $B$. Образ $A$ — это $B$, а образ $B$ — это $C$. Значит, отрезок $AB$ переходит в отрезок $BC$. Поворот является движением, поэтому образ середины отрезка есть середина образа отрезка. Серединой отрезка $BC$ является точка $A_1$. Таким образом, образом точки $C_1$ является точка $A_1$.
Ответ: точка $A_1$.

Образ точки O

Точка $O$ является центром поворота, следовательно, она неподвижна. Ее образ — она сама.
Ответ: точка $O$.

Образ стороны BC

Образом отрезка является отрезок, концами которого являются образы концов исходного отрезка. Образом точки $B$ является точка $C$. Образом точки $C$ является точка $A$. Следовательно, образом стороны $BC$ является сторона $CA$.
Ответ: сторона $CA$.

Образ медианы BB₁

Найдем образы концов медианы — точек $B$ и $B_1$. Образом точки $B$ является точка $C$. Точка $B_1$ — середина стороны $AC$. Образом стороны $AC$ является сторона $BA$ (так как $A \rightarrow B$ и $C \rightarrow A$). Серединой стороны $BA$ является точка $C_1$. Значит, образом точки $B_1$ является точка $C_1$. Таким образом, образом медианы $BB_1$ является отрезок $CC_1$, то есть медиана $CC_1$.
Ответ: медиана $CC_1$.

Образ отрезка OC₁

Найдем образы концов отрезка — точек $O$ и $C_1$. Образом точки $O$ является сама точка $O$. Образом точки $C_1$ является точка $A_1$ (как было показано выше). Следовательно, образом отрезка $OC_1$ является отрезок $OA_1$.
Ответ: отрезок $OA_1$.

Образ треугольника A₁B₁C₁

Найдем образы вершин треугольника $A_1, B_1, C_1$.

• Образ точки $A_1$ (середина $BC$): сторона $BC$ переходит в $CA$, значит, ее середина $A_1$ переходит в середину $CA$, то есть в точку $B_1$.
• Образ точки $B_1$ (середина $CA$): сторона $CA$ переходит в $AB$, значит, ее середина $B_1$ переходит в середину $AB$, то есть в точку $C_1$.
• Образ точки $C_1$ (середина $AB$): сторона $AB$ переходит в $BC$, значит, ее середина $C_1$ переходит в середину $BC$, то есть в точку $A_1$.

Вершины треугольника $A_1B_1C_1$ переходят в вершины $B_1, C_1, A_1$. Таким образом, треугольник $A_1B_1C_1$ переходит в треугольник $B_1C_1A_1$, то есть отображается сам на себя.
Ответ: треугольник $A_1B_1C_1$.

713. Точка $O$ – центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ (рис. 210).

Укажите образы стороны $AF$, диагонали $BF$, диагонали $AD$, шестиугольника $ABCDEF$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол:

1) $60^{\circ}$;

2) $120^{\circ}$.

Рис. 210

Поскольку $ABCDEF$ — правильный шестиугольник с центром $O$, то угол, соответствующий повороту одной вершины в соседнюю вокруг центра, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Поворот по часовой стрелке означает, что вершины будут отображаться в следующем порядке: $A \rightarrow F$, $F \rightarrow E$, $E \rightarrow D$ и так далее.

При повороте на $60^\circ$ по часовой стрелке каждая вершина переходит в соседнюю по часовой стрелке. Отображение вершин будет следующим:$A \rightarrow F$, $B \rightarrow A$, $C \rightarrow B$, $D \rightarrow C$, $E \rightarrow D$, $F \rightarrow E$.

Образ стороны AF: Точка $A$ переходит в точку $F$, а точка $F$ — в точку $E$. Следовательно, образом стороны $AF$ является сторона $FE$.
Ответ: сторона $FE$.

Образ диагонали BF: Точка $B$ переходит в точку $A$, а точка $F$ — в точку $E$. Следовательно, образом диагонали $BF$ является диагональ $AE$.
Ответ: диагональ $AE$.

Образ диагонали AD: Точка $A$ переходит в точку $F$, а точка $D$ — в точку $C$. Следовательно, образом диагонали $AD$ является диагональ $FC$.
Ответ: диагональ $FC$.

Образ шестиугольника ABCDEF: Поскольку угол поворота $60^\circ$ равен центральному углу правильного шестиугольника, при таком повороте шестиугольник совмещается сам с собой. Вершины $A, B, C, D, E, F$ переходят в $F, A, B, C, D, E$ соответственно, образуя тот же шестиугольник.
Ответ: шестиугольник $ABCDEF$.

Поворот на $120^\circ$ по часовой стрелке эквивалентен двум последовательным поворотам на $60^\circ$. Каждая вершина переходит через одну по часовой стрелке. Отображение вершин будет следующим:$A \rightarrow E$, $B \rightarrow F$, $C \rightarrow A$, $D \rightarrow B$, $E \rightarrow C$, $F \rightarrow D$.

Образ стороны AF: Точка $A$ переходит в точку $E$, а точка $F$ — в точку $D$. Следовательно, образом стороны $AF$ является сторона $ED$.
Ответ: сторона $ED$.

Образ диагонали BF: Точка $B$ переходит в точку $F$, а точка $F$ — в точку $D$. Следовательно, образом диагонали $BF$ является диагональ $FD$.
Ответ: диагональ $FD$.

Образ диагонали AD: Точка $A$ переходит в точку $E$, а точка $D$ — в точку $B$. Следовательно, образом диагонали $AD$ является диагональ $EB$.
Ответ: диагональ $EB$.

Образ шестиугольника ABCDEF: Угол поворота $120^\circ$ кратен центральному углу ($120^\circ = 2 \times 60^\circ$), поэтому шестиугольник также совмещается сам с собой. Вершины $A, B, C, D, E, F$ переходят в $E, F, A, B, C, D$ соответственно, образуя тот же шестиугольник.
Ответ: шестиугольник $ABCDEF$.

714. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 211). Укажите образы точек $A$, $O$ и $C$, стороны $AD$, диагонали $BD$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $90^\circ$.

Рис. 209

$A, B, C, O, A_1, B_1, C_1$

Рис. 210

$A, B, C, D, E, F, O$

Рис. 211

$A, B, C, D, O$

Рассмотрим поворот вокруг точки O на 90° по часовой стрелке. Точка O является центром квадрата ABCD и точкой пересечения его диагоналей.

В квадрате диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует, что $AO = BO = CO = DO$ и все углы при вершине O, образованные полудиагоналями, являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Образы точек A, O и C

• Для нахождения образа точки A, повернем отрезок OA на 90° по часовой стрелке. Он совместится с отрезком OD, так как $\angle AOD = 90^\circ$ и $OA = OD$. Следовательно, точка A переходит в точку D.
• Точка O является центром поворота, поэтому она остается на месте, то есть ее образ — это сама точка O.
• Для нахождения образа точки C, повернем отрезок OC на 90° по часовой стрелке. Он совместится с отрезком OB, так как $\angle COB = 90^\circ$ и $OC = OB$. Следовательно, точка C переходит в точку B.

Ответ: Образами точек A, O и C являются соответственно точки D, O и B.

Образ стороны AD

Чтобы найти образ отрезка, нужно найти образы его конечных точек. Мы уже определили, что образом точки A является точка D. Найдем образ точки D. При повороте на 90° по часовой стрелке вокруг O, отрезок OD совмещается с отрезком OC, так как $\angle DOC = 90^\circ$ и $OD = OC$. Таким образом, точка D переходит в точку C. Значит, отрезок AD переходит в отрезок DC.

Ответ: Образом стороны AD является сторона DC.

Образ диагонали BD

Найдем образы конечных точек диагонали B и D. Мы уже знаем, что образом точки D является точка C. Найдем образ точки B. При повороте на 90° по часовой стрелке вокруг O, отрезок OB совмещается с отрезком OA, так как $\angle BOA = 90^\circ$ и $OB = OA$. Таким образом, точка B переходит в точку A. Следовательно, диагональ BD переходит в отрезок, соединяющий точки A и C, то есть в диагональ AC.

Ответ: Образом диагонали BD является диагональ AC.

715. Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что некоторый треугольник $ABC$ имеет центр симметрии $O$.

По определению центральной симметрии, если фигура симметрична относительно некоторого центра $O$, то для любой точки $M$ этой фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре.

При симметрии многоугольник переходит сам в себя, а значит, и множество его вершин переходит в себя. То есть, для каждой вершины треугольника $ABC$ симметричная ей точка относительно $O$ также является одной из вершин этого же треугольника.

Рассмотрим два возможных случая расположения центра симметрии $O$:

1. Центр симметрии $O$ совпадает с одной из вершин, например, с вершиной $A$.

В этом случае точка, симметричная вершине $B$ относительно точки $A$, должна быть одной из вершин треугольника. Обозначим эту симметричную точку как $B'$. По определению симметрии, точка $A$ является серединой отрезка $BB'$. Так как $A$ и $B$ — разные вершины, то $B' \ne B$. Также $B' \ne A$. Следовательно, $B'$ может быть только вершиной $C$.

Аналогично, точка $C'$, симметричная вершине $C$ относительно $A$, может быть только вершиной $B$.

Таким образом, точка $A$ должна быть одновременно серединой отрезка $BC$ и серединой отрезка $CB$. Это означает, что вершина $A$ является серединой стороны $BC$. Но вершина треугольника не может лежать на середине противолежащей стороны. Мы пришли к противоречию.

2. Центр симметрии $O$ не совпадает ни с одной из вершин.

В этом случае для любой вершины, например $A$, симметричная ей точка $A'$ не может быть самой точкой $A$ (иначе $A$ была бы центром симметрии, что противоречит условию данного случая). Значит, $A'$ является другой вершиной.

Пусть точка, симметричная вершине $A$ относительно $O$, — это вершина $B$. Тогда $O$ является серединой отрезка $AB$. В таком случае точка, симметричная $B$ относительно $O$, — это вершина $A$.

Теперь рассмотрим третью вершину $C$. Симметричная ей точка $C'$ также должна быть вершиной треугольника. Поскольку вершины $A$ и $B$ уже "парные" друг другу, то для $C'$ остается единственная возможность: $C' = C$.

Но равенство $C' = C$ означает, что точка $C$ и есть центр симметрии $O$. Это противоречит нашему предположению в данном случае (что $O$ не совпадает ни с одной из вершин).

Все возможные случаи приводят к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что треугольник имеет центр симметрии, неверно.

Ответ: Утверждение доказано: треугольник не имеет центра симметрии.

716. Докажите, что луч не имеет центра симметрии.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что у луча существует центр симметрии. Обозначим этот центр симметрии как точку $O$.

Пусть наш луч начинается в точке $A$. Расположим этот луч на координатной оси $Ox$ так, чтобы его начало, точка $A$, совпало с началом координат (координата 0). Тогда луч будет состоять из всех точек с неотрицательными координатами, то есть множество точек $x$, для которых $x \ge 0$.

Пусть предполагаемый центр симметрии $O$ имеет координату $c$. По определению центра симметрии, для любой точки $P$ на луче, симметричная ей точка $P'$ относительно центра $O$ также должна принадлежать этому лучу. Если точка $P$ имеет координату $p$, то симметричная ей точка $P'$ будет иметь координату $p'$, которая вычисляется из условия, что $O$ является серединой отрезка $PP'$: $c = \frac{p + p'}{2}$, откуда $p' = 2c - p$.

Сначала рассмотрим начальную точку луча — точку $A$ с координатой $p = 0$. Симметричная ей точка $A'$ должна лежать на луче. Ее координата $a'$ равна $a' = 2c - 0 = 2c$. Чтобы точка $A'$ принадлежала лучу, ее координата должна быть неотрицательной: $a' \ge 0$, следовательно, $2c \ge 0$, что означает $c \ge 0$. Это значит, что если центр симметрии у луча существует, то он должен находиться на самом луче (включая его начальную точку).

Теперь выберем на луче произвольную точку $P$ с координатой $p$ такой, что $p > 2c$. Мы всегда можем это сделать, так как луч бесконечен, а $2c$ — это конкретное конечное число (поскольку $c \ge 0$). Найдем координату $p'$ точки $P'$, симметричной точке $P$ относительно $O$: $p' = 2c - p$.

Поскольку мы выбрали $p > 2c$, то разность $2c - p$ будет отрицательной, то есть $p' < 0$.

Точка с отрицательной координатой не принадлежит нашему лучу, так как он состоит только из точек с неотрицательными координатами ($x \ge 0$). Таким образом, мы нашли точку $P$ на луче, для которой симметричная ей точка $P'$ не принадлежит лучу. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что точка $O$ является центром симметрии.

Следовательно, наше предположение было неверным. Луч не имеет центра симметрии, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что луч не имеет центра симметрии.

717. Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.

Пусть дан четырёхугольник ABCD, у которого есть центр симметрии — точка O.

По определению, фигура симметрична относительно центра O, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно O, также принадлежит этой фигуре. Центральная симметрия является поворотом на 180° вокруг центра симметрии.

Вершины четырёхугольника A, B, C, D являются точками этой фигуры. Следовательно, при симметрии относительно точки O (повороте на 180°), каждая вершина должна перейти в одну из вершин этого же четырёхугольника.

Рассмотрим вершину A. Симметричная ей точка A' не может быть смежной вершиной (B или D), так как тогда O была бы серединой стороны, и при повороте на 180° вокруг O вся фигура не совпала бы с собой (например, если A переходит в B, то B переходит в A, а сторона BC переходит в сторону AD, что делает ABCD параллелограммом, но при этом O - середина AB и O - середина CD, что возможно только если AD и BC - это точки, то есть в вырожденном случае). Таким образом, точка, симметричная вершине A, должна быть противоположной вершиной C.

Аналогично, точка, симметричная вершине B, должна быть противоположной вершиной D.

Из того, что вершина C симметрична вершине A относительно O, следует, что точка O является серединой диагонали AC. Это означает, что $AO = OC$ и точки A, O, C лежат на одной прямой.

Из того, что вершина D симметрична вершине B относительно O, следует, что точка O является серединой диагонали BD. Это означает, что $BO = OD$ и точки B, O, D лежат на одной прямой.

Таким образом, диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.