Номер 717, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

717. Докажите, что если четырёхугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.

Пусть дан четырёхугольник ABCD, у которого есть центр симметрии — точка O.

По определению, фигура симметрична относительно центра O, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно O, также принадлежит этой фигуре. Центральная симметрия является поворотом на 180° вокруг центра симметрии.

Вершины четырёхугольника A, B, C, D являются точками этой фигуры. Следовательно, при симметрии относительно точки O (повороте на 180°), каждая вершина должна перейти в одну из вершин этого же четырёхугольника.

Рассмотрим вершину A. Симметричная ей точка A' не может быть смежной вершиной (B или D), так как тогда O была бы серединой стороны, и при повороте на 180° вокруг O вся фигура не совпала бы с собой (например, если A переходит в B, то B переходит в A, а сторона BC переходит в сторону AD, что делает ABCD параллелограммом, но при этом O - середина AB и O - середина CD, что возможно только если AD и BC - это точки, то есть в вырожденном случае). Таким образом, точка, симметричная вершине A, должна быть противоположной вершиной C.

Аналогично, точка, симметричная вершине B, должна быть противоположной вершиной D.

Из того, что вершина C симметрична вершине A относительно O, следует, что точка O является серединой диагонали AC. Это означает, что $AO = OC$ и точки A, O, C лежат на одной прямой.

Из того, что вершина D симметрична вершине B относительно O, следует, что точка O является серединой диагонали BD. Это означает, что $BO = OD$ и точки B, O, D лежат на одной прямой.

Таким образом, диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.