Номер 722, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

722. Точки $A$ и $C$ принадлежат острому углу, но не лежат на его сторонах. Постройте параллелограмм $ABCD$ так, чтобы точки $B$ и $D$ лежали на сторонах угла.

Для построения искомого параллелограмма $ABCD$ воспользуемся методом центральной симметрии и ключевым свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, где вершины $A$ и $C$ заданы, вершина $B$ лежит на одной стороне угла (назовем ее $l_1$), а вершина $D$ — на другой стороне угла ($l_2$). Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. По свойству параллелограмма, $M$ является серединой обеих диагоналей.

Так как точки $A$ и $C$ нам известны, мы можем найти положение точки $M$ как середины отрезка $AC$.

Поскольку $M$ также является серединой диагонали $BD$, это означает, что точка $B$ симметрична точке $D$ относительно центра $M$. Это ключевой момент для построения.

Мы знаем, что точка $D$ лежит на стороне угла $l_2$. Если точка $D$ принадлежит прямой $l_2$, то симметричная ей относительно центра $M$ точка $B$ должна лежать на прямой $l'_2$, которая симметрична прямой $l_2$ относительно того же центра $M$. Прямая $l'_2$ будет параллельна прямой $l_2$.

С другой стороны, по условию задачи, точка $B$ должна лежать на стороне угла $l_1$. Следовательно, искомая точка $B$ является точкой пересечения прямой $l_1$ и прямой $l'_2$, симметричной $l_2$ относительно середины диагонали $AC$. Найдя точку $B$, мы легко найдем и точку $D$, так как она симметрична $B$ относительно $M$.

Построение

1. Соединим данные точки $A$ и $C$ отрезком.
2. Построим середину отрезка $AC$. Назовем эту точку $M$. Это можно сделать, проведя две дуги окружностей с одинаковым радиусом (большим половины $AC$) из точек $A$ и $C$ и соединив точки пересечения этих дуг. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AC$ и будет его серединой $M$.
3. Обозначим стороны угла как лучи $l_1$ и $l_2$, выходящие из вершины $O$. Построим прямую $l'_2$, симметричную прямой, содержащей луч $l_2$, относительно точки $M$. Для этого:
   • Построим точку $O'$, симметричную вершине угла $O$ относительно точки $M$ (для этого проводим луч $OM$ и откладываем на нем за точкой $M$ отрезок $MO'$ равный $OM$).
   • Через точку $O'$ проведем прямую $l'_2$, параллельную прямой $l_2$.
4. Найдем точку пересечения прямой $l'_2$ и прямой, содержащей луч $l_1$. Эта точка и будет искомой вершиной $B$.
5. Для нахождения последней вершины $D$ соединим точки $B$ и $M$ лучом и отложим на нем от точки $M$ отрезок $MD$, равный отрезку $BM$. Полученная точка $D$ будет лежать на луче $l_2$ (так как точка $B$ лежит на $l'_2$, а $l_2$ и $l'_2$ симметричны относительно $M$).
6. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному алгоритму.