Номер 728, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

728. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку E. Биссектриса угла BAE пересекает сторону BC в точке F. Докажите, что $AE = BF + ED$.

Докажите, что $AE = BF + ED$.

Выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ отложим отрезок $DG$, равный отрезку $BF$. Соединим точки $A$ и $G$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle ADG$.

В них: $AB = AD$ как стороны квадрата $ABCD$; $BF = DG$ по нашему построению; $\angle ABF = \angle ADG = 90^\circ$, так как $ABCD$ — квадрат, а точка $G$ лежит на прямой, содержащей сторону $CD$, которая перпендикулярна $AD$.

Следовательно, $\triangle ABF = \triangle ADG$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $AF = AG$ и $\angle BAF = \angle DAG$.

По условию задачи, луч $AF$ является биссектрисой угла $BAE$, что означает $\angle BAF = \angle EAF$.

Сопоставляя два полученных равенства углов, имеем: $\angle DAG = \angle EAF$.

Теперь докажем, что треугольник $AEG$ является равнобедренным, а именно, что $AE = EG$. Для этого достаточно показать равенство углов при основании $AG$, то есть $\angle EAG = \angle EGA$.

Пусть $\angle EGA = \alpha$. Из равенства треугольников $\triangle ABF$ и $\triangle ADG$ следует, что соответствующий ему угол $\angle AFB = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABF$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAF = 90^\circ - \angle AFB = 90^\circ - \alpha$.

Так как $\angle BAF = \angle EAF = \angle DAG$, то все три угла равны $90^\circ - \alpha$.

Угол $BAE$ состоит из двух равных углов, значит $\angle BAE = \angle BAF + \angle EAF = 2(90^\circ - \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Найдем угол $EAD$, который является частью прямого угла $BAD$: $\angle EAD = \angle BAD - \angle BAE = 90^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha - 90^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $EAG$: $\angle EAG = \angle EAD + \angle DAG = (2\alpha - 90^\circ) + (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Мы получили, что в треугольнике $AEG$ два угла равны: $\angle EAG = \alpha$ и $\angle EGA = \alpha$. Это означает, что треугольник $AEG$ — равнобедренный, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $AE = EG$.

По построению, отрезок $EG$ состоит из двух отрезков: $ED$ и $DG$. Таким образом, $EG = ED + DG$.

Так как мы строили отрезок $DG$ равным отрезку $BF$, мы можем заменить $DG$ на $BF$: $EG = ED + BF$.

Поскольку $AE = EG$, то окончательно получаем: $AE = BF + ED$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.