Номер 732, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

732. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 25 : 12, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна $1680\text{ см}^2$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. В треугольник вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

По условию, точка касания $M$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $25:12$, считая от вершины $B$. Это означает, что $BM : MA = 25 : 12$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $BM = 25x$ и $MA = 12x$.

Длина боковой стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MA$:
$AB = BM + MA = 25x + 12x = 37x$.
Так как треугольник равнобедренный, то $BC = AB = 37x$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной вершины к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

• Из вершины A: $AK = AM = 12x$
• Из вершины B: $BN = BM = 25x$
• Из вершины C: $CK = CN$

Найдем длину отрезка $CN$:
$CN = BC - BN = 37x - 25x = 12x$.
Следовательно, $CK = 12x$.

Теперь можем найти длину основания $AC$:
$AC = AK + KC = 12x + 12x = 24x$.

Таким образом, стороны треугольника равны $37x$, $37x$ и $24x$. Для нахождения значения $x$ воспользуемся формулой площади треугольника. Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = \frac{98x}{2} = 49x$.

Площадь треугольника $S$ найдем по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$
$S = \sqrt{49x(49x-37x)(49x-37x)(49x-24x)}$
$S = \sqrt{49x \cdot 12x \cdot 12x \cdot 25x} = \sqrt{49 \cdot 144 \cdot 25 \cdot x^4}$
$S = \sqrt{7^2 \cdot 12^2 \cdot 5^2 \cdot (x^2)^2} = 7 \cdot 12 \cdot 5 \cdot x^2 = 420x^2$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$. Приравняем полученное выражение для площади к этому значению:
$420x^2 = 1680$
$x^2 = \frac{1680}{420} = 4$
$x = 2$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности $r$ по формуле $S = p \cdot r$, откуда $r = \frac{S}{p}$.
Найдем полупериметр: $p = 49x = 49 \cdot 2 = 98 \text{ см}$.
Вычислим радиус:
$r = \frac{1680}{98} = \frac{840}{49} = \frac{120}{7} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{120}{7}$ см.