Номер 3, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Как изменяется расстояние между точками при гомотетии с коэффициентом $k$?

Гомотетия — это преобразование подобия, которое преобразует каждую точку $M$ плоскости (или пространства) в точку $M'$ таким образом, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — ненулевое число, называемое коэффициентом гомотетии.

Рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$ и их образы $A'$ и $B'$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$. Нам нужно найти, как соотносятся расстояние $A'B'$ и расстояние $AB$.

По определению гомотетии имеем следующие векторные соотношения:

$\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$

$\vec{OB'} = k \cdot \vec{OB}$

Выразим вектор $\vec{A'B'}$ через векторы, идущие из центра гомотетии, используя правило треугольника (или правило вычитания векторов):

$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\vec{OA'}$ и $\vec{OB'}$:

$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$\vec{A'B'} = k (\vec{OB} - \vec{OA})$

Выражение в скобках $\vec{OB} - \vec{OA}$ равно вектору $\vec{AB}$. Таким образом, мы получаем связь между векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$

Расстояние между точками — это длина (или модуль) вектора, соединяющего эти точки. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $AB = |\vec{AB}|$, а расстояние между точками $A'$ и $B'$ равно $A'B' = |\vec{A'B'}|$.

Найдем модуль вектора $\vec{A'B'}|$:

$A'B' = |\vec{A'B'}| = |k \cdot \vec{AB}| = |k| \cdot |\vec{AB}| = |k| \cdot AB$

Таким образом, мы доказали, что расстояние между образами двух точек при гомотетии равно произведению расстояния между исходными точками на модуль коэффициента гомотетии.

Ответ: При гомотетии с коэффициентом $k$ расстояние между точками изменяется в $|k|$ раз. Если исходное расстояние между точками равно $d$, то после гомотетии оно станет равным $d' = |k| \cdot d$.