Номер 731, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

731. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A (-2; 4)$ и $B (6; 8)$.

Пусть искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $C(x; 0)$. Точка лежит на оси абсцисс, поэтому её ордината равна нулю.

По условию задачи, точка $C$ равноудалена от точек $A(-2; 4)$ и $B(6; 8)$. Это означает, что расстояние от точки $C$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $C$ до точки $B$, то есть $AC = BC$.

Для удобства вычислений возведем обе части равенства в квадрат: $AC^2 = BC^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $AC^2$ между точками $A(-2; 4)$ и $C(x; 0)$:
$AC^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 4)^2 = (x + 2)^2 + (-4)^2 = (x + 2)^2 + 16$.

Найдем квадрат расстояния $BC^2$ между точками $B(6; 8)$ и $C(x; 0)$:
$BC^2 = (x - 6)^2 + (0 - 8)^2 = (x - 6)^2 + (-8)^2 = (x - 6)^2 + 64$.

Теперь приравняем полученные выражения для $AC^2$ и $BC^2$ и решим уравнение относительно $x$:
$(x + 2)^2 + 16 = (x - 6)^2 + 64$.

Раскроем скобки:
$x^2 + 4x + 4 + 16 = x^2 - 12x + 36 + 64$
$x^2 + 4x + 20 = x^2 - 12x + 100$.

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$4x + 20 = -12x + 100$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:
$4x + 12x = 100 - 20$
$16x = 80$.

Найдем $x$:
$x = \frac{80}{16}$
$x = 5$.

Следовательно, абсцисса искомой точки равна 5. Координаты точки на оси абсцисс, равноудаленной от точек A и B, равны $(5; 0)$.

Ответ: $(5; 0)$.