Номер 730, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

730. Найдите стороны треугольника ABC, если $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 45^{\circ}$, а высота, проведённая из вершины $C$, равна 4 см.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. Проведем высоту $CD$ из вершины $C$ на сторону $AB$. По условию, длина высоты $CD$ равна 4 см. Высота $CD$ делит исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$, в которых $CD$ является катетом.

1. Найдем сторону AC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $CD = 4$ см и противолежащий ему угол $\angle A = 30^\circ$. Сторона $AC$ является гипотенузой. Используя определение синуса, имеем:
$\sin(\angle A) = \frac{CD}{AC}$
Отсюда выразим $AC$:
$AC = \frac{CD}{\sin(\angle A)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

2. Найдем сторону BC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ ($\angle BDC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $CD = 4$ см и противолежащий ему угол $\angle B = 45^\circ$. Сторона $BC$ является гипотенузой. Используя определение синуса, имеем:
$\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC}$
Отсюда выразим $BC$:
$BC = \frac{CD}{\sin(\angle B)} = \frac{4}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Найдем сторону AB.
Сторона $AB$ состоит из двух отрезков: $AD$ и $BD$. Найдем длины этих отрезков из тех же прямоугольных треугольников. В треугольнике $ADC$ найдем катет $AD$ по тангенсу угла $A$:
$\tan(\angle A) = \frac{CD}{AD}$
$AD = \frac{CD}{\tan(\angle A)} = \frac{4}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3}$ см.
В треугольнике $BDC$ найдем катет $BD$. Так как $\angle B = 45^\circ$, то треугольник $BDC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, поэтому $BD = CD = 4$ см.
Теперь найдем длину стороны $AB$:
$AB = AD + BD = 4\sqrt{3} + 4 = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: $AC = 8$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $AB = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.