Номер 2, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Опишите преобразование фигуры $F$, которое называют гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$.

Гомотетией фигуры $F$ с центром в точке $O$ и ненулевым коэффициентом $k$ ($k \neq 0$) называется такое преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры $F$ отображается на точку $M'$ так, что выполняется векторное соотношение:

$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

Из этого равенства следует, что точки $O$, $M$ и ее образ $M'$ лежат на одной прямой. Положение точки $M'$ на этой прямой определяется знаком и величиной коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, то точка $M'$ лежит на луче $OM$ (то есть $M$ и $M'$ находятся по одну сторону от центра $O$). Расстояние от центра $O$ до точки $M'$ равно произведению расстояния от $O$ до $M$ на коэффициент $k$: $|OM'| = k \cdot |OM|$.
• Если $k < 0$, то точка $M'$ лежит на луче, противоположном лучу $OM$ (то есть $M$ и $M'$ находятся по разные стороны от центра $O$). Расстояние от центра $O$ до точки $M'$ равно произведению расстояния от $O$ до $M$ на модуль коэффициента $|k|$: $|OM'| = |k| \cdot |OM|$.

Таким образом, гомотетия является преобразованием подобия. Фигура $F'$, полученная в результате гомотетии фигуры $F$, подобна исходной фигуре, а коэффициент подобия равен $|k|$.

Некоторые важные свойства и частные случаи гомотетии:

• Центр гомотетии $O$ является неподвижной точкой, то есть отображается сам на себя.
• Если $|k| > 1$, гомотетия является растяжением (фигура увеличивается).
• Если $0 < |k| < 1$, гомотетия является сжатием (фигура уменьшается).
• Если $k = 1$, гомотетия является тождественным преобразованием, так как каждая точка отображается на саму себя.
• Если $k = -1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.

Ответ: Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование фигуры, при котором каждая ее точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. В результате этого преобразования фигура переходит в подобную ей фигуру с коэффициентом подобия $|k|$.