Номер 735, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

735. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см, и отметьте на ней точку $A$. Постройте образ этой окружности при гомотетии с коэффициентом $k$ и центром:

1) в центре окружности, $k = -\frac{1}{2}$, $k = 2$;

2) в точке $A$, $k = 2$, $k = -\frac{1}{2}$.

По условию задачи дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 2$ см. На этой окружности выбрана точка $A$.

Гомотетия — это преобразование подобия. Образом окружности при гомотетии является окружность. Радиус новой окружности $R'$ связан с радиусом исходной окружности $R$ через коэффициент гомотетии $k$ формулой: $R' = |k| \cdot R$. Центр новой окружности $O'$ является образом центра исходной окружности $O$ при данной гомотетии.

Если центр гомотетии совпадает с центром окружности, то центр окружности является неподвижной точкой. Это означает, что центр новой окружности $O'$ совпадает с центром исходной окружности $O$. Новая окружность будет концентрична исходной.

• При коэффициенте $k = -\frac{1}{2}$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |-\frac{1}{2}| \cdot 2 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

  Образом является окружность с центром в точке $O$ и радиусом 1 см.

  Ответ: Окружность, концентрическая данной, с радиусом 1 см.

• При коэффициенте $k = 2$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |2| \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

  Образом является окружность с центром в точке $O$ и радиусом 4 см.

  Ответ: Окружность, концентрическая данной, с радиусом 4 см.

Если центр гомотетии находится в точке $A$ на окружности, то центр новой окружности $O'$ определяется векторным равенством $\vec{AO'} = k \cdot \vec{AO}$. Точка $A$ при этом является неподвижной, и новая окружность будет проходить через точку $A$.

• При коэффициенте $k = 2$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |2| \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

  Центр новой окружности $O'$ находится на прямой $AO$ и удовлетворяет условию $\vec{AO'} = 2 \cdot \vec{AO}$. Это означает, что точка $O'$ лежит на луче, исходящем из $A$ и проходящем через $O$, а расстояние $AO'$ равно $2 \cdot AO = 2 \cdot R = 2 \cdot 2 = 4$ см. Точка $O$ является серединой отрезка $AO'$.

  Для построения нужно провести луч $AO$ и отложить на нем от точки $A$ отрезок $AO'$ длиной 4 см. Затем построить окружность с центром в точке $O'$ и радиусом 4 см.

  Ответ: Окружность с центром $O'$ на луче $AO$ на расстоянии 4 см от точки $A$ и радиусом 4 см.

• При коэффициенте $k = -\frac{1}{2}$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |-\frac{1}{2}| \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

  Центр новой окружности $O'$ находится на прямой $AO$ и удовлетворяет условию $\vec{AO'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{AO}$. Это означает, что вектор $\vec{AO'}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{AO}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{AO}$. Расстояние $AO' = \frac{1}{2} \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см. Точка $A$ лежит на отрезке $O'O$.

  Для построения нужно на прямой $AO$ отложить от точки $A$ в направлении, противоположном лучу $AO$, отрезок $AO'$ длиной 1 см. Затем построить окружность с центром в точке $O'$ и радиусом 1 см.

  Ответ: Окружность с центром $O'$ на прямой $AO$ на расстоянии 1 см от точки $A$ (точка $A$ лежит между $O'$ и $O$) и радиусом 1 см.