Номер 739, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

739. Начертите квадрат ABCD. Постройте образ этого квадрата при гомотетии с коэффициентом k и центром:

1) в точке A, $k = \frac{1}{3}$;

2) в точке B, $k = -2$;

3) в точке C, $k = 2$.

Для решения задачи сначала начертим исходный квадрат ABCD.

Гомотетия с центром O и коэффициентом k — это преобразование плоскости, при котором любая точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Образом квадрата при гомотетии является квадрат.

1) в точке А, $k = \frac{1}{3}$

Центр гомотетии — точка A. Коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Построим образы вершин квадрата ABCD, обозначив их A', B', C', D'.

• Поскольку точка A является центром гомотетии, ее образ совпадает с ней самой: A' = A. Это следует из формулы $\vec{AA'} = \frac{1}{3} \cdot \vec{AA} = \vec{0}$.
• Для нахождения образа точки B, точки B', воспользуемся определением: $\vec{AB'} = \frac{1}{3} \vec{AB}$. Это означает, что точка B' лежит на отрезке AB, и ее расстояние от точки A в три раза меньше расстояния от B до A, то есть $|AB'| = \frac{1}{3} |AB|$.
• Аналогично для точки D: $\vec{AD'} = \frac{1}{3} \vec{AD}$. Точка D' лежит на отрезке AD, и $|AD'| = \frac{1}{3} |AD|$.
• Образ точки C, точка C', определяется вектором $\vec{AC'} = \frac{1}{3} \vec{AC}$. Точка C' будет лежать на диагонали AC, и $|AC'| = \frac{1}{3} |AC|$.

Соединив точки A', B', C', D' (то есть A, B', C', D'), получим искомый квадрат AB'C'D'. Он расположен внутри исходного квадрата ABCD, имеет с ним общую вершину A, и его стороны в три раза короче сторон исходного квадрата.

Этапы построения:

1. Начертите квадрат ABCD.
2. На стороне AB отложите от точки A отрезок $AB'$ длиной $\frac{1}{3}|AB|$.
3. На стороне AD отложите от точки A отрезок $AD'$ длиной $\frac{1}{3}|AD|$.
4. Достройте квадрат AB'C'D' на сторонах AB' и AD'. Вершина C' будет образом вершины C.

Ответ: Искомый образ - квадрат AB'C'D', где A' совпадает с A, B' лежит на AB и $|AB'|=\frac{1}{3}|AB|$, D' лежит на AD и $|AD'|=\frac{1}{3}|AD|$.

2) в точке B, $k = -2$

Центр гомотетии — точка B. Коэффициент $k = -2$.

Так как коэффициент отрицательный, образы точек будут лежать на лучах, противоположных лучам, исходящим из центра гомотетии B.

• Образ точки B, центра гомотетии, совпадает с ней самой: B' = B.
• Для нахождения образа A, точки A', используем равенство $\vec{BA'} = -2 \vec{BA}$. Это значит, что A' лежит на прямой AB, но по другую сторону от B. Расстояние $|BA'|$ вдвое больше расстояния $|BA|$.
• Аналогично для точки C: $\vec{BC'} = -2 \vec{BC}$. Точка C' лежит на прямой BC, по другую сторону от B. Расстояние $|BC'| = 2|BC|$.
• Образ точки D, точка D', определяется вектором $\vec{BD'} = -2 \vec{BD}$. Точка D' будет лежать на продолжении диагонали DB за точку B, и $|BD'| = 2|DB|$.

Соединив точки A', B', C', D' (то есть A', B, C', D'), получим искомый квадрат A'BC'D'. Его сторона в два раза больше стороны исходного квадрата. Он "перевернут" относительно точки B.

Этапы построения:

1. Начертите квадрат ABCD.
2. Продлите отрезок AB за точку B и отложите отрезок $BA'$ так, чтобы $|BA'| = 2|BA|$.
3. Продлите отрезок CB за точку B и отложите отрезок $BC'$ так, чтобы $|BC'| = 2|BC|$.
4. Достройте квадрат A'BC'D' на сторонах BA' и BC'. Вершина D' будет образом вершины D.

Ответ: Искомый образ - квадрат A'BC'D', где B' совпадает с B, A' лежит на прямой AB за точкой B и $|BA'|=2|BA|$, C' лежит на прямой CB за точкой B и $|BC'|=2|BC|$.

3) в точке C, $k = 2$

Центр гомотетии — точка C. Коэффициент $k = 2$.

Так как коэффициент положительный и больше 1, образ будет увеличенной копией исходного квадрата, расположенной на тех же лучах, исходящих из центра C.

• Образ точки C, центра гомотетии, совпадает с ней самой: C' = C.
• Для нахождения образа B, точки B', используем равенство $\vec{CB'} = 2 \vec{CB}$. Это значит, что B' лежит на луче CB, а точка B является серединой отрезка CB'. Расстояние $|CB'| = 2|CB|$.
• Аналогично для точки D: $\vec{CD'} = 2 \vec{CD}$. Точка D' лежит на луче CD, а точка D является серединой отрезка CD'. Расстояние $|CD'| = 2|CD|$.
• Образ точки A, точка A', определяется вектором $\vec{CA'} = 2 \vec{CA}$. Точка A' лежит на луче CA, а точка A - середина отрезка CA'. Расстояние $|CA'| = 2|CA|$.

Соединив точки A', B', C', D' (то есть A', B', C, D'), получим искомый квадрат A'B'CD'. Исходный квадрат ABCD находится внутри полученного квадрата. Сторона нового квадрата вдвое больше стороны исходного.

Этапы построения:

1. Начертите квадрат ABCD.
2. На луче CB отложите отрезок $CB'$ так, чтобы $|CB'| = 2|CB|$.
3. На луче CD отложите отрезок $CD'$ так, чтобы $|CD'| = 2|CD|$.
4. Достройте квадрат A'B'CD' на сторонах CB' и CD'. Вершина A' будет образом вершины A.

Ответ: Искомый образ - квадрат A'B'CD', где C' совпадает с C, B' лежит на луче CB и $|CB'|=2|CB|$, D' лежит на луче CD и $|CD'|=2|CD|$.