Страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

737. Начертите треугольник ABC. Найдите точку пересечения его медиан.

Постройте образ этого треугольника при гомотетии с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом:

1) $k=2$;

2) $k=\frac{1}{2}$;

3) $k=-\frac{1}{2}$.

Сначала начертим произвольный треугольник $ABC$. Для нахождения точки пересечения его медиан (центроида), найдем середины его сторон. Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$, $B_1$ — середина стороны $AC$, а $C_1$ — середина стороны $AB$. Проведем отрезки (медианы) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Точка их пересечения, которую мы обозначим $M$, является центроидом треугольника. Эта точка $M$ будет центром гомотетии.

Образом треугольника $ABC$ при гомотетии будет треугольник $A'B'C'$, где точки $A'$, $B'$, $C'$ являются образами вершин $A$, $B$, $C$ соответственно. Для построения образа $X'$ точки $X$ с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом $k$ используется векторное равенство $\vec{MX'} = k \cdot \vec{MX}$.

1) k = 2;

Для построения образа $A'B'C'$ нужно построить образы вершин $A$, $B$ и $C$.
Поскольку $k=2 > 0$, образ каждой вершины будет лежать на луче, выходящем из центра $M$ и проходящем через эту вершину.
Точка $A'$ строится на луче $MA$ так, что расстояние $MA'$ в два раза больше расстояния $MA$. Векторное равенство для этого построения: $\vec{MA'} = 2 \cdot \vec{MA}$.
Аналогично строятся точка $B'$ на луче $MB$ ($\vec{MB'} = 2 \cdot \vec{MB}$) и точка $C'$ на луче $MC$ ($\vec{MC'} = 2 \cdot \vec{MC}$).
Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$, который подобен исходному с коэффициентом 2.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого лежат на лучах $MA$, $MB$ и $MC$ соответственно, при этом $MA' = 2 \cdot MA$, $MB' = 2 \cdot MB$, $MC' = 2 \cdot MC$.

2) k = 1/2;

При коэффициенте гомотетии $k = \frac{1}{2}$, образы вершин также будут лежать на лучах $MA$, $MB$, $MC$.
Точка $A'$ будет лежать на отрезке $MA$ так, что $MA' = \frac{1}{2} MA$. Иначе говоря, $A'$ — это середина отрезка $MA$. Векторное равенство: $\vec{MA'} = \frac{1}{2} \cdot \vec{MA}$.
Аналогично, точка $B'$ является серединой отрезка $MB$, а точка $C'$ — серединой отрезка $MC$.
Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$, подобный исходному с коэффициентом $\frac{1}{2}$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого являются серединами отрезков $MA$, $MB$ и $MC$.

3) k = -1/2.

Так как коэффициент гомотетии $k = -\frac{1}{2}$ отрицательный, образы вершин будут лежать на лучах, противоположных лучам $MA$, $MB$ и $MC$.
Точка $A'$ строится на луче, противоположном лучу $MA$, так, что расстояние $MA'$ равно половине расстояния $MA$. Векторное равенство: $\vec{MA'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MA}$.
Аналогично строятся точки $B'$ ($\vec{MB'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MB}$) и $C'$ ($\vec{MC'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MC}$).
Вспомним свойство медиан треугольника: центроид $M$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что $AM = 2 \cdot MA_1$. Векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ противоположно направлены, поэтому $\vec{MA} = -2\vec{MA_1}$, откуда следует, что $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$.
Сравнивая это равенство с условием гомотетии для точки $A'$, $\vec{MA'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MA}$, мы заключаем, что точка $A'$ совпадает с точкой $A_1$ — серединой стороны $BC$.
Аналогично, точка $B'$ совпадает с $B_1$ (серединой $AC$), а точка $C'$ совпадает с $C_1$ (серединой $AB$).
Следовательно, искомый треугольник $A'B'C'$ — это треугольник, вершинами которого являются середины сторон треугольника $ABC$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$.

738. Начертите параллелограмм $ABCD$. Точку пересечения его диагоналей обозначьте $O$. Постройте образ этого параллелограмма при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом: 1) $k = 2$; 2) $k = -2$.

Сначала начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Проведем его диагонали $AC$ и $BD$ и точку их пересечения обозначим $O$. Эта точка является центром симметрии параллелограмма и, по условию задачи, центром гомотетии.

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, при котором каждая точка $P$ плоскости переходит в такую точку $P'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

Для построения образа параллелограмма $ABCD$ необходимо построить образы его вершин $A, B, C, D$ и соединить их отрезками.

При $k=2$ коэффициент гомотетии положителен. Это означает, что образ каждой точки будет лежать на луче, выходящем из центра гомотетии $O$ и проходящем через исходную точку. Расстояние от центра до образа будет в 2 раза больше расстояния от центра до исходной точки.

Построим образы вершин A, B, C, D, обозначив их соответственно A', B', C', D'.

1. Образ вершины $A$ — точка $A'$, для которой выполняется равенство $\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA}$. Чтобы построить точку $A'$, нужно на луче $OA$ отложить от точки $O$ отрезок $OA'$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OA$.
2. Образ вершины $B$ — точка $B'$, для которой $\vec{OB'} = 2 \cdot \vec{OB}$. Точка $B'$ строится аналогично на луче $OB$.
3. Образ вершины $C$ — точка $C'$, для которой $\vec{OC'} = 2 \cdot \vec{OC}$. Точка $C'$ строится на луче $OC$.
4. Образ вершины $D$ — точка $D'$, для которой $\vec{OD'} = 2 \cdot \vec{OD}$. Точка $D'$ строится на луче $OD$.

Соединив последовательно точки $A', B', C', D'$, мы получим параллелограмм $A'B'C'D'$, который является образом исходного параллелограмма. Стороны нового параллелограмма будут параллельны сторонам исходного, а их длины будут в 2 раза больше.

Ответ: Образом параллелограмма $ABCD$ является параллелограмм $A'B'C'D'$, вершины которого лежат на продолжениях отрезков $OA, OB, OC, OD$ за точки $A, B, C, D$ соответственно, так что $OA' = 2OA$, $OB' = 2OB$, $OC' = 2OC$, $OD' = 2OD$.

При $k=-2$ коэффициент гомотетии отрицателен. Это означает, что образ каждой точки будет лежать на луче, дополнительном к лучу, выходящему из центра $O$ и проходящему через исходную точку. То есть, образ точки будет находиться с противоположной стороны от центра $O$. Абсолютное значение расстояния от центра до образа будет в $|-2| = 2$ раза больше.

Построим образы вершин A, B, C, D, обозначив их A'', B'', C'', D''.

1. Образ вершины $A$ — точка $A''$, для которой $\vec{OA''} = -2 \cdot \vec{OA}$. Вектор $\vec{OA''}$ сонаправлен с вектором $\vec{OC}$ (так как $\vec{OC} = -\vec{OA}$). Точка $A''$ лежит на луче $OC$ на расстоянии $2 \cdot OA$ от точки $O$.
2. Образ вершины $B$ — точка $B''$, для которой $\vec{OB''} = -2 \cdot \vec{OB}$. Точка $B''$ лежит на луче $OD$ на расстоянии $2 \cdot OB$ от точки $O$.
3. Образ вершины $C$ — точка $C''$, для которой $\vec{OC''} = -2 \cdot \vec{OC}$. Точка $C''$ лежит на луче $OA$ на расстоянии $2 \cdot OC$ от точки $O$.
4. Образ вершины $D$ — точка $D''$, для которой $\vec{OD''} = -2 \cdot \vec{OD}$. Точка $D''$ лежит на луче $OB$ на расстоянии $2 \cdot OD$ от точки $O$.

Соединив точки $A'', B'', C'', D''$, мы получим параллелограмм $A''B''C''D''$.

Можно заметить, что полученный параллелограмм совпадает с параллелограммом $A'B'C'D'$ из пункта 1). Докажем это. Так как $O$ — центр симметрии параллелограмма $ABCD$, то $\vec{OC} = -\vec{OA}$ и $OC = OA$.

Рассмотрим образ вершины $C$ при $k=-2$, точку $C''$: $\vec{OC''} = -2 \cdot \vec{OC} = -2 \cdot (-\vec{OA}) = 2 \cdot \vec{OA}$. Из пункта 1) мы знаем, что $\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA}$. Следовательно, $\vec{OC''} = \vec{OA'}$, что означает совпадение точек $C''$ и $A'$.

Аналогично доказывается, что точка $A''$ совпадает с $C'$, точка $B''$ совпадает с $D'$, а точка $D''$ совпадает с $B'$. Таким образом, множество вершин $\{A'', B'', C'', D''\}$ идентично множеству вершин $\{A', B', C', D'\}$, и, следовательно, параллелограммы, построенные в обоих случаях, совпадают.

Ответ: Образом параллелограмма $ABCD$ является параллелограмм $A''B''C''D''$, который полностью совпадает с параллелограммом $A'B'C'D'$, построенным в пункте 1).

739. Начертите квадрат ABCD. Постройте образ этого квадрата при гомотетии с коэффициентом k и центром:

1) в точке A, $k = \frac{1}{3}$;

2) в точке B, $k = -2$;

3) в точке C, $k = 2$.

Для решения задачи сначала начертим исходный квадрат ABCD.

Гомотетия с центром O и коэффициентом k — это преобразование плоскости, при котором любая точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Образом квадрата при гомотетии является квадрат.

1) в точке А, $k = \frac{1}{3}$

Центр гомотетии — точка A. Коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Построим образы вершин квадрата ABCD, обозначив их A', B', C', D'.

• Поскольку точка A является центром гомотетии, ее образ совпадает с ней самой: A' = A. Это следует из формулы $\vec{AA'} = \frac{1}{3} \cdot \vec{AA} = \vec{0}$.
• Для нахождения образа точки B, точки B', воспользуемся определением: $\vec{AB'} = \frac{1}{3} \vec{AB}$. Это означает, что точка B' лежит на отрезке AB, и ее расстояние от точки A в три раза меньше расстояния от B до A, то есть $|AB'| = \frac{1}{3} |AB|$.
• Аналогично для точки D: $\vec{AD'} = \frac{1}{3} \vec{AD}$. Точка D' лежит на отрезке AD, и $|AD'| = \frac{1}{3} |AD|$.
• Образ точки C, точка C', определяется вектором $\vec{AC'} = \frac{1}{3} \vec{AC}$. Точка C' будет лежать на диагонали AC, и $|AC'| = \frac{1}{3} |AC|$.

Соединив точки A', B', C', D' (то есть A, B', C', D'), получим искомый квадрат AB'C'D'. Он расположен внутри исходного квадрата ABCD, имеет с ним общую вершину A, и его стороны в три раза короче сторон исходного квадрата.

Этапы построения:

1. Начертите квадрат ABCD.
2. На стороне AB отложите от точки A отрезок $AB'$ длиной $\frac{1}{3}|AB|$.
3. На стороне AD отложите от точки A отрезок $AD'$ длиной $\frac{1}{3}|AD|$.
4. Достройте квадрат AB'C'D' на сторонах AB' и AD'. Вершина C' будет образом вершины C.

Ответ: Искомый образ - квадрат AB'C'D', где A' совпадает с A, B' лежит на AB и $|AB'|=\frac{1}{3}|AB|$, D' лежит на AD и $|AD'|=\frac{1}{3}|AD|$.

2) в точке B, $k = -2$

Центр гомотетии — точка B. Коэффициент $k = -2$.

Так как коэффициент отрицательный, образы точек будут лежать на лучах, противоположных лучам, исходящим из центра гомотетии B.

• Образ точки B, центра гомотетии, совпадает с ней самой: B' = B.
• Для нахождения образа A, точки A', используем равенство $\vec{BA'} = -2 \vec{BA}$. Это значит, что A' лежит на прямой AB, но по другую сторону от B. Расстояние $|BA'|$ вдвое больше расстояния $|BA|$.
• Аналогично для точки C: $\vec{BC'} = -2 \vec{BC}$. Точка C' лежит на прямой BC, по другую сторону от B. Расстояние $|BC'| = 2|BC|$.
• Образ точки D, точка D', определяется вектором $\vec{BD'} = -2 \vec{BD}$. Точка D' будет лежать на продолжении диагонали DB за точку B, и $|BD'| = 2|DB|$.

Соединив точки A', B', C', D' (то есть A', B, C', D'), получим искомый квадрат A'BC'D'. Его сторона в два раза больше стороны исходного квадрата. Он "перевернут" относительно точки B.

Этапы построения:

1. Начертите квадрат ABCD.
2. Продлите отрезок AB за точку B и отложите отрезок $BA'$ так, чтобы $|BA'| = 2|BA|$.
3. Продлите отрезок CB за точку B и отложите отрезок $BC'$ так, чтобы $|BC'| = 2|BC|$.
4. Достройте квадрат A'BC'D' на сторонах BA' и BC'. Вершина D' будет образом вершины D.

Ответ: Искомый образ - квадрат A'BC'D', где B' совпадает с B, A' лежит на прямой AB за точкой B и $|BA'|=2|BA|$, C' лежит на прямой CB за точкой B и $|BC'|=2|BC|$.

3) в точке C, $k = 2$

Центр гомотетии — точка C. Коэффициент $k = 2$.

Так как коэффициент положительный и больше 1, образ будет увеличенной копией исходного квадрата, расположенной на тех же лучах, исходящих из центра C.

• Образ точки C, центра гомотетии, совпадает с ней самой: C' = C.
• Для нахождения образа B, точки B', используем равенство $\vec{CB'} = 2 \vec{CB}$. Это значит, что B' лежит на луче CB, а точка B является серединой отрезка CB'. Расстояние $|CB'| = 2|CB|$.
• Аналогично для точки D: $\vec{CD'} = 2 \vec{CD}$. Точка D' лежит на луче CD, а точка D является серединой отрезка CD'. Расстояние $|CD'| = 2|CD|$.
• Образ точки A, точка A', определяется вектором $\vec{CA'} = 2 \vec{CA}$. Точка A' лежит на луче CA, а точка A - середина отрезка CA'. Расстояние $|CA'| = 2|CA|$.

Соединив точки A', B', C', D' (то есть A', B', C, D'), получим искомый квадрат A'B'CD'. Исходный квадрат ABCD находится внутри полученного квадрата. Сторона нового квадрата вдвое больше стороны исходного.

Этапы построения:

1. Начертите квадрат ABCD.
2. На луче CB отложите отрезок $CB'$ так, чтобы $|CB'| = 2|CB|$.
3. На луче CD отложите отрезок $CD'$ так, чтобы $|CD'| = 2|CD|$.
4. Достройте квадрат A'B'CD' на сторонах CB' и CD'. Вершина A' будет образом вершины A.

Ответ: Искомый образ - квадрат A'B'CD', где C' совпадает с C, B' лежит на луче CB и $|CB'|=2|CB|$, D' лежит на луче CD и $|CD'|=2|CD|$.

740. Ориентируясь по клеткам, начертите пятиугольник $ABCDE$ (рис. 227).
Постройте пятиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1$, подобный данному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.

Рис. 227

Для построения пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$, подобного данному пятиугольнику $ABCDE$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$, воспользуемся методом гомотетии (преобразования подобия). Это преобразование сжимает или растягивает фигуру относительно некоторой точки (центра гомотетии).

Определение координат исходного пятиугольника

Введем систему координат, чтобы однозначно определить положение вершин. Удобно принять вершину $A$ за начало координат $(0, 0)$, а сторону одной клетки за единицу длины. Тогда, двигаясь по клеткам, найдем координаты остальных вершин пятиугольника $ABCDE$:
$A(0; 0)$
$B(0; 4)$
$C(2; 6)$
$D(7; 3)$
$E(4; 3)$

Построение подобного пятиугольника

Выберем центр гомотетии в точке $A(0;0)$. При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k$, координаты каждой точки $(x; y)$ фигуры преобразуются в координаты новой точки $(x_1; y_1)$ по формулам $x_1 = k \cdot x$ и $y_1 = k \cdot y$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$.
Вычислим координаты вершин нового пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$ путем умножения координат вершин исходного пятиугольника на $\frac{1}{2}$:
$A_1(0 \cdot \frac{1}{2}; 0 \cdot \frac{1}{2}) = A_1(0; 0)$.
$B_1(0 \cdot \frac{1}{2}; 4 \cdot \frac{1}{2}) = B_1(0; 2)$.
$C_1(2 \cdot \frac{1}{2}; 6 \cdot \frac{1}{2}) = C_1(1; 3)$.
$D_1(7 \cdot \frac{1}{2}; 3 \cdot \frac{1}{2}) = D_1(3.5; 1.5)$.
$E_1(4 \cdot \frac{1}{2}; 3 \cdot \frac{1}{2}) = E_1(2; 1.5)$.

Теперь нужно отметить полученные точки на клетчатой бумаге и соединить их последовательно. Точка $A_1$ совпадет с $A$. Точка $B_1$ будет на середине отрезка $AB$. Точки $D_1$ и $E_1$ окажутся в серединах клеток, так как их координаты нецелые. Результат построения показан на рисунке (исходный пятиугольник — черный, подобный — красный).

Ответ:

Чтобы построить пятиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1$, подобный данному с коэффициентом $\frac{1}{2}$, нужно сначала определить координаты вершин исходного пятиугольника $ABCDE$ в системе координат, где одна из вершин (например, $A$) является началом координат. Координаты вершин: $A(0; 0)$, $B(0; 4)$, $C(2; 6)$, $D(7; 3)$, $E(4; 3)$. Затем координаты каждой вершины умножаются на коэффициент подобия $\frac{1}{2}$ для получения координат вершин нового пятиугольника: $A_1(0; 0)$, $B_1(0; 2)$, $C_1(1; 3)$, $D_1(3.5; 1.5)$, $E_1(2; 1.5)$. Остается отметить эти точки на сетке и соединить их.