Страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

758. Соответствующие стороны двух подобных треугольников равны 30 см и 24 см. Площадь треугольника со стороной 30 см равна 45 $см^2$. Найдите площадь другого треугольника.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — соответствующие стороны двух подобных треугольников, а $S_1$ и $S_2$ — их площади. По условию задачи, сторона первого треугольника $a_1 = 30$ см, а его площадь $S_1 = 45$ см$^2$. Соответствующая сторона второго треугольника $a_2 = 24$ см. Требуется найти площадь второго треугольника, $S_2$.

Согласно свойству подобных треугольников, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон.

Формула отношения площадей выглядит следующим образом: $\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

Подставим в формулу известные значения: $\frac{45}{S_2} = \left(\frac{30}{24}\right)^2$

Сначала упростим дробь, представляющую отношение сторон: $\frac{30}{24} = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{5}{4}$

Теперь подставим упрощенное значение обратно в уравнение и возведем в квадрат: $\frac{45}{S_2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$

Из полученной пропорции выразим и вычислим $S_2$: $S_2 = \frac{45 \cdot 16}{25}$

Сократим множители 45 и 25 на 5: $S_2 = \frac{(9 \cdot 5) \cdot 16}{5 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 16}{5} = \frac{144}{5} = 28,8$

Таким образом, площадь другого треугольника составляет 28,8 см$^2$.

Ответ: 28,8 см$^2$.

759. Площадь треугольника равна $S$. Чему равна площадь треугольника, который отсекает от данного его средняя линия?

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$, площадь которого равна $S$. Проведем в нем среднюю линию $MN$, где точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $AC$. Эта средняя линия отсекает от исходного треугольника новый, меньший треугольник $\triangle AMN$.

Треугольник $\triangle AMN$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$. Докажем это.По определению, $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, следовательно:

$AM = \frac{1}{2}AB$

$AN = \frac{1}{2}AC$

Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон:

$k = \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Обозначим площадь треугольника $\triangle AMN$ как $S_{MN}$. Тогда:

$\frac{S_{MN}}{S} = k^2$

Подставим значение коэффициента подобия:

$\frac{S_{MN}}{S} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим площадь треугольника, который отсекает средняя линия:

$S_{MN} = \frac{S}{4}$

Ответ: $\frac{S}{4}$

760. Площадь треугольника равна $S$. Найдите площадь треугольника, вершины которого – середины средних линий данного треугольника.

Пусть дан исходный треугольник $ \triangle ABC $ с площадью $ S_{ABC} = S $.

Шаг 1: Нахождение площади треугольника, образованного средними линиями.

Пусть $ D, E, F $ — середины сторон $ BC, CA, AB $ соответственно. Отрезки $ DE, EF, FD $ являются средними линиями треугольника $ \triangle ABC $. Они образуют новый треугольник $ \triangle DEF $.

Согласно свойству средней линии, треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника, подобен ему. Коэффициент подобия $ k $ равен $ \frac{1}{2} $, так как длина каждой средней линии равна половине длины параллельной ей стороны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$ \frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Отсюда находим площадь треугольника $ \triangle DEF $:

$ S_{DEF} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{S}{4} $

Шаг 2: Нахождение площади искомого треугольника.

По условию, вершины искомого треугольника — это середины средних линий $ DE, EF, FD $ данного треугольника. Это означает, что искомый треугольник образован средними линиями треугольника $ \triangle DEF $.

Применяя ту же логику, что и в Шаге 1, мы можем утверждать, что площадь искомого треугольника будет в 4 раза меньше площади треугольника $ \triangle DEF $.

Пусть $ S_{иск} $ — площадь искомого треугольника. Тогда:

$ S_{иск} = \frac{1}{4} S_{DEF} $

Теперь подставим значение $ S_{DEF} $, найденное на первом шаге:

$ S_{иск} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{S}{4}) = \frac{S}{16} $

Таким образом, площадь треугольника, вершины которого — середины средних линий данного треугольника, равна $ \frac{1}{16} $ от площади исходного треугольника.

Ответ: $ \frac{S}{16} $.

Рис. 237

761. Отрезок $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$ (рис. 237). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок $AC$ является образом отрезка $MN$; 2) отрезок $MN$ является образом отрезка $AC$.

Гомотетия — это преобразование подобия, определяемое центром $O$ и коэффициентом $k \ne 0$. При гомотетии каждая точка $X$ фигуры переходит в точку $X'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$. При этом отрезок переходит в параллельный ему отрезок, а отношение длины образа к длине прообраза равно $|k|$.

По условию, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Это означает, что точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Из свойства средней линии известно, что $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Поскольку отрезки $MN$ и $AC$ параллельны, один может быть получен из другого с помощью гомотетии. Центр гомотетии должен лежать на прямых, соединяющих соответствующие точки. В нашем случае это прямые $AM$ (которая является прямой $AB$) и $CN$ (которая является прямой $BC$). Точкой пересечения прямых $AB$ и $BC$ является вершина $B$. Следовательно, точка $B$ является центром гомотетии в обоих случаях.

1) отрезок $AC$ является образом отрезка $MN$

В этом случае отрезок $MN$ является прообразом, а отрезок $AC$ — образом. Гомотетия с центром в точке $B$ переводит точку $M$ в $A$, а точку $N$ в $C$.

Коэффициент гомотетии $k$ можно найти из отношения длин образа к прообразу:

$|k| = \frac{AC}{MN}$

Так как $MN = \frac{1}{2}AC$, то $AC = 2MN$. Подставим это в формулу:

$|k| = \frac{2MN}{MN} = 2$

Поскольку прообраз $MN$ и образ $AC$ находятся по одну сторону от центра гомотетии $B$, коэффициент $k$ является положительным числом. Таким образом, $k = 2$.

Векторно это можно записать как $\vec{BA} = 2 \cdot \vec{BM}$ и $\vec{BC} = 2 \cdot \vec{BN}$, что соответствует действительности, так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k=2$.

2) отрезок $MN$ является образом отрезка $AC$

В этом случае отрезок $AC$ является прообразом, а отрезок $MN$ — образом. Гомотетия с центром в точке $B$ переводит точку $A$ в $M$, а точку $C$ в $N$.

Коэффициент гомотетии $k$ можно найти из отношения длин образа к прообразу:

$|k| = \frac{MN}{AC}$

Так как $MN = \frac{1}{2}AC$, подставим это в формулу:

$|k| = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2}$

Поскольку прообраз $AC$ и образ $MN$ находятся по одну сторону от центра гомотетии $B$, коэффициент $k$ является положительным числом. Таким образом, $k = \frac{1}{2}$.

Векторно это можно записать как $\vec{BM} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BA}$ и $\vec{BN} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}$, что соответствует действительности, так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k=\frac{1}{2}$.

резок MN является образом отрезка AC.

762. Параллельные прямые пересекают стороны угла A в точках M, N, P и Q (рис. 238). Известно, что $AM : MP = 3 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок PQ является образом отрезка MN;

2) отрезок MN является образом отрезка PQ.

Поскольку прямые $MN$ и $PQ$ параллельны, а прямые, соединяющие концы отрезков ($MP$ и $NQ$), пересекаются в одной точке $A$, отрезки $MN$ и $PQ$ гомотетичны. Центром гомотетии является точка пересечения этих прямых, то есть точка $A$. Коэффициент гомотетии — это отношение расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

Из условия $AM : MP = 3 : 1$. Мы можем принять длину отрезка $MP$ за $x$, тогда длина отрезка $AM$ будет $3x$. Точки $A$, $M$, $P$ лежат на одной прямой, и, судя по рисунку, точка $M$ находится между $A$ и $P$. Следовательно, длина отрезка $AP$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MP$: $AP = AM + MP = 3x + x = 4x$.

В этом случае, отрезок $MN$ является прообразом, а $PQ$ — образом. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AP$ к $AM$:

$k = \frac{AP}{AM} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$.

Так как точки-образы ($P$, $Q$) лежат на тех же лучах от центра $A$, что и их прообразы ($M$, $N$), коэффициент гомотетии положителен.

Ответ: центр гомотетии — точка $A$, коэффициент $k = \frac{4}{3}$.

В этом случае, отрезок $PQ$ является прообразом, а $MN$ — образом. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AM$ к $AP$:

$k = \frac{AM}{AP} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$.

Данная гомотетия является обратной к гомотетии из пункта 1, поэтому ее коэффициент равен $1 / (\frac{4}{3}) = \frac{3}{4}$.

Ответ: центр гомотетии — точка $A$, коэффициент $k = \frac{3}{4}$.

763. Параллельные отрезки $BC$ и $AD$ таковы, что $AD = 3BC$. Сколько существует точек, являющихся центрами гомотетии, при которой образом отрезка $BC$ является отрезок $AD$? Для каждой такой точки определите коэффициент гомотетии.

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит отрезок в параллельный ему отрезок. Модуль коэффициента гомотетии $|k|$ равен отношению длин отрезка-образа и отрезка-прообраза.

По условию задачи, образом отрезка $BC$ является отрезок $AD$. Дано, что отрезки параллельны ($BC \parallel AD$) и их длины связаны соотношением $AD = 3BC$.Следовательно, модуль коэффициента гомотетии $|k|$ равен:$|k| = \frac{AD}{BC} = \frac{3BC}{BC} = 3$

Это означает, что возможны два различных значения коэффициента гомотетии: $k=3$ и $k=-3$. Для каждого из этих коэффициентов существует единственный центр гомотетии. Таким образом, всего существует две точки, удовлетворяющие условию задачи.

Рассмотрим оба случая.

Первая точка (центр гомотетии с коэффициентом $k_1 = 3$)

Поскольку коэффициент $k_1 = 3$ положителен, речь идет о прямой гомотетии. При такой гомотетии центр $O_1$ лежит на прямой, соединяющей точку-прообраз $P$ и ее образ $P'$, причем $P$ и $P'$ находятся по одну сторону от $O_1$. Так как $|k_1| > 1$, точка-прообраз лежит между центром гомотетии и точкой-образом.

При гомотетии концы отрезка $BC$ переходят в концы отрезка $AD$. Для прямой гомотетии соответствие концов должно сохранять ориентацию. Это означает, что точка $B$ переходит в $A$, а точка $C$ в $D$ (если векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены), либо $B$ переходит в $D$, а $C$ в $A$ (если векторы $\vec{CB}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены). В любом случае, центр гомотетии $O_1$ является точкой пересечения прямых, соединяющих соответствующие концы. Например, для отображения $B \to A$ и $C \to D$, центр $O_1$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Геометрически, если рассмотреть трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то точка $O_1$ является точкой пересечения ее боковых сторон. Эта точка единственна, так как боковые стороны трапеции не параллельны (в противном случае $AD = BC$, что противоречит условию).

Вторая точка (центр гомотетии с коэффициентом $k_2 = -3$)

Поскольку коэффициент $k_2 = -3$ отрицателен, речь идет об обратной гомотетии. При такой гомотетии центр $O_2$ лежит на отрезке, соединяющем точку-прообраз $P$ и ее образ $P'$.

При обратной гомотетии соответствие концов меняет ориентацию. Например, для сонаправленных векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, точка $B$ переходит в $D$, а $C$ — в $A$. Центр гомотетии $O_2$ в этом случае должен лежать на прямых $BD$ и $CA$ одновременно. Таким образом, $O_2$ — это точка пересечения этих прямых.

Геометрически, если рассмотреть ту же трапецию $ABCD$, то точка $O_2$ является точкой пересечения ее диагоналей. Эта точка также единственна.

Ответ: Существует две точки, являющиеся центрами гомотетии. Для одной точки коэффициент гомотетии равен $3$, а для другой — $-3$.

лите коэффициент гомотетии.

764. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно с радиусами $R$ и $r$ касаются внешним образом в точке $O$ (рис. 239). Докажите, что окружность с центром $O_1$ является образом окружности с центром $O_2$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $-\frac{R}{r}$.

Рис. 239

Рис. 240

Пусть нам даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$. По условию, эти окружности касаются внешним образом в точке $O$. Требуется доказать, что первая окружность является образом второй при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = -\frac{R}{r}$.

Гомотетия с центром $C$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{CM'} = k \cdot \vec{CM}$. При гомотетии окружность с центром $A$ и радиусом $a$ переходит в окружность с центром $A'$ (являющимся образом точки $A$) и радиусом $a' = |k| \cdot a$.

Применим указанную гомотетию к окружности с центром $O_2$ и радиусом $r$. Для этого найдем образ ее центра и новый радиус.

1. Образ центра $O_2$
Пусть $O_1'$ — это образ точки $O_2$. По определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = -\frac{R}{r}$:$\vec{OO_1'} = k \cdot \vec{OO_2} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$.

Из условия, что окружности касаются внешним образом в точке $O$, следует, что их центры $O_1$, $O_2$ и точка касания $O$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ находится на отрезке $O_1O_2$. Это означает, что векторы $\vec{OO_1}$ и $\vec{OO_2}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Длины этих векторов равны радиусам соответствующих окружностей: $|\vec{OO_1}| = R$ и $|\vec{OO_2}| = r$.Следовательно, связь между векторами можно выразить так:$\vec{OO_1} = - \frac{|\vec{OO_1}|}{|\vec{OO_2}|} \vec{OO_2} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$.

Сравнивая два полученных векторных равенства, $\vec{OO_1'} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$ и $\vec{OO_1} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$, мы видим, что $\vec{OO_1'} = \vec{OO_1}$. Это означает, что точки $O_1'$ и $O_1$ совпадают. Таким образом, центр окружности-образа — это точка $O_1$.

2. Радиус окружности-образа
Радиус исходной окружности равен $r$. Новый радиус $R'$ вычисляется по формуле $R' = |k| \cdot r$. Подставим значение коэффициента $k$:$R' = |-\frac{R}{r}| \cdot r$.Поскольку радиусы $R$ и $r$ являются положительными величинами, то $|-\frac{R}{r}| = \frac{R}{r}$.$R' = \frac{R}{r} \cdot r = R$.

Итак, радиус окружности-образа равен $R$, что совпадает с радиусом первой окружности.

Мы показали, что гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k = -\frac{R}{r}$ преобразует окружность с центром $O_2$ и радиусом $r$ в окружность с центром $O_1$ и радиусом $R$. Это и есть первая окружность, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

765. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно с радиусами $R$ и $r$ касаются внутренним образом в точке $O$ (рис. 240). Докажите, что окружность с центром $O_1$ является образом окружности с центром $O_2$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $-\frac{R}{r}$.

Рис. 240

Пусть нам даны две окружности: $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$, и $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$. Они касаются внутренним образом в точке $O$.

Необходимо доказать, что окружность $\omega_1$ является образом окружности $\omega_2$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{R}{r}$.

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром $O$ и коэффициентом $k$ отображает каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Доказательство проведем в два этапа:

1. Докажем, что центр $O_1$ окружности $\omega_1$ является образом центра $O_2$ окружности $\omega_2$.
По свойству касающихся окружностей, точка касания $O$ и центры $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Так как касание внутреннее, точка $O_2$ лежит на отрезке $OO_1$.
Расстояние от точки касания $O$ до центра $O_1$ равно радиусу $R$, то есть $|OO_1| = R$.
Расстояние от точки касания $O$ до центра $O_2$ равно радиусу $r$, то есть $|OO_2| = r$.
Векторы $\vec{OO_1}$ и $\vec{OO_2}$ сонаправлены. Рассмотрим их отношение:$$\frac{|\vec{OO_1}|}{|\vec{OO_2}|} = \frac{R}{r}$$Так как векторы сонаправлены, мы можем записать векторное равенство:$$\vec{OO_1} = \frac{R}{r} \cdot \vec{OO_2}$$Это в точности соответствует определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{R}{r}$, где точка $O_1$ является образом точки $O_2$.

2. Докажем, что любая точка окружности $\omega_1$ является образом некоторой точки окружности $\omega_2$.
Возьмем произвольную точку $M_2$ на окружности $\omega_2$. Это означает, что расстояние от центра $O_2$ до этой точки равно радиусу $r$, то есть $|O_2M_2| = r$.
Найдем ее образ $M_1$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{R}{r}$. По определению гомотетии:$$\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM_2}$$Нам нужно доказать, что точка $M_1$ лежит на окружности $\omega_1$, то есть что расстояние от $O_1$ до $M_1$ равно $R$ ($|O_1M_1| = R$).
Рассмотрим вектор $\vec{O_1M_1}$. Используя правило вычитания векторов, получаем:$$\vec{O_1M_1} = \vec{OM_1} - \vec{OO_1}$$Подставим известные нам выражения для $\vec{OM_1}$ и $\vec{OO_1}$:$$\vec{O_1M_1} = (k \cdot \vec{OM_2}) - (k \cdot \vec{OO_2}) = k \cdot (\vec{OM_2} - \vec{OO_2})$$Выражение в скобках равно вектору $\vec{O_2M_2}$, следовательно:$$\vec{O_1M_1} = k \cdot \vec{O_2M_2}$$Теперь найдем модуль (длину) этого вектора:$$|O_1M_1| = |\vec{O_1M_1}| = |k \cdot \vec{O_2M_2}| = |k| \cdot |\vec{O_2M_2}|$$Так как $R$ и $r$ — радиусы, они положительны, поэтому $k = \frac{R}{r} > 0$ и $|k| = k = \frac{R}{r}$. Длина вектора $|\vec{O_2M_2}|$ равна радиусу $r$.
Подставляем значения:$$|O_1M_1| = \frac{R}{r} \cdot r = R$$Таким образом, расстояние от точки $O_1$ до точки $M_1$ равно $R$. Это означает, что точка $M_1$ лежит на окружности $\omega_1$.
Поскольку мы выбрали произвольную точку $M_2$ на окружности $\omega_2$ и показали, что ее образ $M_1$ лежит на окружности $\omega_1$, мы доказали, что окружность $\omega_1$ является образом окружности $\omega_2$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $\frac{R}{r}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.