Номер 764, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

лите коэффициент гомотетии.

764. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно с радиусами $R$ и $r$ касаются внешним образом в точке $O$ (рис. 239). Докажите, что окружность с центром $O_1$ является образом окружности с центром $O_2$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $-\frac{R}{r}$.

Рис. 239

Рис. 240

Пусть нам даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$. По условию, эти окружности касаются внешним образом в точке $O$. Требуется доказать, что первая окружность является образом второй при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = -\frac{R}{r}$.

Гомотетия с центром $C$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{CM'} = k \cdot \vec{CM}$. При гомотетии окружность с центром $A$ и радиусом $a$ переходит в окружность с центром $A'$ (являющимся образом точки $A$) и радиусом $a' = |k| \cdot a$.

Применим указанную гомотетию к окружности с центром $O_2$ и радиусом $r$. Для этого найдем образ ее центра и новый радиус.

1. Образ центра $O_2$
Пусть $O_1'$ — это образ точки $O_2$. По определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = -\frac{R}{r}$:$\vec{OO_1'} = k \cdot \vec{OO_2} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$.

Из условия, что окружности касаются внешним образом в точке $O$, следует, что их центры $O_1$, $O_2$ и точка касания $O$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ находится на отрезке $O_1O_2$. Это означает, что векторы $\vec{OO_1}$ и $\vec{OO_2}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Длины этих векторов равны радиусам соответствующих окружностей: $|\vec{OO_1}| = R$ и $|\vec{OO_2}| = r$.Следовательно, связь между векторами можно выразить так:$\vec{OO_1} = - \frac{|\vec{OO_1}|}{|\vec{OO_2}|} \vec{OO_2} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$.

Сравнивая два полученных векторных равенства, $\vec{OO_1'} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$ и $\vec{OO_1} = -\frac{R}{r} \vec{OO_2}$, мы видим, что $\vec{OO_1'} = \vec{OO_1}$. Это означает, что точки $O_1'$ и $O_1$ совпадают. Таким образом, центр окружности-образа — это точка $O_1$.

2. Радиус окружности-образа
Радиус исходной окружности равен $r$. Новый радиус $R'$ вычисляется по формуле $R' = |k| \cdot r$. Подставим значение коэффициента $k$:$R' = |-\frac{R}{r}| \cdot r$.Поскольку радиусы $R$ и $r$ являются положительными величинами, то $|-\frac{R}{r}| = \frac{R}{r}$.$R' = \frac{R}{r} \cdot r = R$.

Итак, радиус окружности-образа равен $R$, что совпадает с радиусом первой окружности.

Мы показали, что гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k = -\frac{R}{r}$ преобразует окружность с центром $O_2$ и радиусом $r$ в окружность с центром $O_1$ и радиусом $R$. Это и есть первая окружность, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.