Номер 763, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

763. Параллельные отрезки $BC$ и $AD$ таковы, что $AD = 3BC$. Сколько существует точек, являющихся центрами гомотетии, при которой образом отрезка $BC$ является отрезок $AD$? Для каждой такой точки определите коэффициент гомотетии.

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит отрезок в параллельный ему отрезок. Модуль коэффициента гомотетии $|k|$ равен отношению длин отрезка-образа и отрезка-прообраза.

По условию задачи, образом отрезка $BC$ является отрезок $AD$. Дано, что отрезки параллельны ($BC \parallel AD$) и их длины связаны соотношением $AD = 3BC$.Следовательно, модуль коэффициента гомотетии $|k|$ равен:$|k| = \frac{AD}{BC} = \frac{3BC}{BC} = 3$

Это означает, что возможны два различных значения коэффициента гомотетии: $k=3$ и $k=-3$. Для каждого из этих коэффициентов существует единственный центр гомотетии. Таким образом, всего существует две точки, удовлетворяющие условию задачи.

Рассмотрим оба случая.

Первая точка (центр гомотетии с коэффициентом $k_1 = 3$)

Поскольку коэффициент $k_1 = 3$ положителен, речь идет о прямой гомотетии. При такой гомотетии центр $O_1$ лежит на прямой, соединяющей точку-прообраз $P$ и ее образ $P'$, причем $P$ и $P'$ находятся по одну сторону от $O_1$. Так как $|k_1| > 1$, точка-прообраз лежит между центром гомотетии и точкой-образом.

При гомотетии концы отрезка $BC$ переходят в концы отрезка $AD$. Для прямой гомотетии соответствие концов должно сохранять ориентацию. Это означает, что точка $B$ переходит в $A$, а точка $C$ в $D$ (если векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены), либо $B$ переходит в $D$, а $C$ в $A$ (если векторы $\vec{CB}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены). В любом случае, центр гомотетии $O_1$ является точкой пересечения прямых, соединяющих соответствующие концы. Например, для отображения $B \to A$ и $C \to D$, центр $O_1$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.

Геометрически, если рассмотреть трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то точка $O_1$ является точкой пересечения ее боковых сторон. Эта точка единственна, так как боковые стороны трапеции не параллельны (в противном случае $AD = BC$, что противоречит условию).

Вторая точка (центр гомотетии с коэффициентом $k_2 = -3$)

Поскольку коэффициент $k_2 = -3$ отрицателен, речь идет об обратной гомотетии. При такой гомотетии центр $O_2$ лежит на отрезке, соединяющем точку-прообраз $P$ и ее образ $P'$.

При обратной гомотетии соответствие концов меняет ориентацию. Например, для сонаправленных векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, точка $B$ переходит в $D$, а $C$ — в $A$. Центр гомотетии $O_2$ в этом случае должен лежать на прямых $BD$ и $CA$ одновременно. Таким образом, $O_2$ — это точка пересечения этих прямых.

Геометрически, если рассмотреть ту же трапецию $ABCD$, то точка $O_2$ является точкой пересечения ее диагоналей. Эта точка также единственна.

Ответ: Существует две точки, являющиеся центрами гомотетии. Для одной точки коэффициент гомотетии равен $3$, а для другой — $-3$.