Номер 762, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

резок MN является образом отрезка AC.

762. Параллельные прямые пересекают стороны угла A в точках M, N, P и Q (рис. 238). Известно, что $AM : MP = 3 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок PQ является образом отрезка MN;

2) отрезок MN является образом отрезка PQ.

Поскольку прямые $MN$ и $PQ$ параллельны, а прямые, соединяющие концы отрезков ($MP$ и $NQ$), пересекаются в одной точке $A$, отрезки $MN$ и $PQ$ гомотетичны. Центром гомотетии является точка пересечения этих прямых, то есть точка $A$. Коэффициент гомотетии — это отношение расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

Из условия $AM : MP = 3 : 1$. Мы можем принять длину отрезка $MP$ за $x$, тогда длина отрезка $AM$ будет $3x$. Точки $A$, $M$, $P$ лежат на одной прямой, и, судя по рисунку, точка $M$ находится между $A$ и $P$. Следовательно, длина отрезка $AP$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MP$: $AP = AM + MP = 3x + x = 4x$.

В этом случае, отрезок $MN$ является прообразом, а $PQ$ — образом. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AP$ к $AM$:

$k = \frac{AP}{AM} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$.

Так как точки-образы ($P$, $Q$) лежат на тех же лучах от центра $A$, что и их прообразы ($M$, $N$), коэффициент гомотетии положителен.

Ответ: центр гомотетии — точка $A$, коэффициент $k = \frac{4}{3}$.

В этом случае, отрезок $PQ$ является прообразом, а $MN$ — образом. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AM$ к $AP$:

$k = \frac{AM}{AP} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$.

Данная гомотетия является обратной к гомотетии из пункта 1, поэтому ее коэффициент равен $1 / (\frac{4}{3}) = \frac{3}{4}$.

Ответ: центр гомотетии — точка $A$, коэффициент $k = \frac{3}{4}$.