Номер 755, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

755. Найдите образы точек $A (-2; 1)$, $B (3; 0)$, $D (0; -6)$ при гомотетии с центром $O (0; 0)$ и коэффициентом:

1) $k = 2$;

2) $k = 3$;

3) $k = -\frac{1}{2}$;

4) $k = -\frac{1}{3}$.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $P(x; y)$ в точку $P'(x'; y')$, где координаты новой точки вычисляются по формулам:

$x' = k \cdot x$

$y' = k \cdot y$

Применим эти формулы для заданных точек $A(-2; 1)$, $B(3; 0)$, $D(0; -6)$ и различных коэффициентов $k$.

1) k = 2

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = 2 \cdot (-2) = -4$

$y' = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, $A'(-4; 2)$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = 2 \cdot 3 = 6$

$y' = 2 \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(6; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = 2 \cdot 0 = 0$

$y' = 2 \cdot (-6) = -12$

Таким образом, $D'(0; -12)$.

Ответ: $A'(-4; 2)$, $B'(6; 0)$, $D'(0; -12)$.

2) k = 3

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = 3 \cdot (-2) = -6$

$y' = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, $A'(-6; 3)$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = 3 \cdot 3 = 9$

$y' = 3 \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(9; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = 3 \cdot 0 = 0$

$y' = 3 \cdot (-6) = -18$

Таким образом, $D'(0; -18)$.

Ответ: $A'(-6; 3)$, $B'(9; 0)$, $D'(0; -18)$.

3) k = $-\frac{1}{2}$

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1$

$y' = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

Таким образом, $A'(1; -\frac{1}{2})$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2}$

$y' = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(-\frac{3}{2}; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

$y' = -\frac{1}{2} \cdot (-6) = 3$

Таким образом, $D'(0; 3)$.

Ответ: $A'(1; -\frac{1}{2})$, $B'(-\frac{3}{2}; 0)$, $D'(0; 3)$.

4) k = $-\frac{1}{3}$

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{3} \cdot (-2) = \frac{2}{3}$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$

Таким образом, $A'(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(-1; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot (-6) = 2$

Таким образом, $D'(0; 2)$.

Ответ: $A'(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$, $B'(-1; 0)$, $D'(0; 2)$.