Номер 751, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

751. Какие из фигур, изображённых на рисунке 235, совпадают со своими образами при гомотетии с центром O и коэффициентом $k < 0$?

Рис. 235

а

б

в

г

д

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $M$ в точку $M'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

В условии задачи коэффициент гомотетии $k < 0$. Это означает, что образ $M'$ любой точки $M$ лежит на прямой $OM$ по другую сторону от центра $O$ на расстоянии $|OM'| = |k| \cdot |OM|$ от него. Такое преобразование является композицией двух преобразований: центральной симметрии относительно точки $O$ и гомотетии с тем же центром $O$ и положительным коэффициентом $|k|$.

Фигура совпадет со своим образом, если она инвариантна относительно данного преобразования, то есть переходит сама в себя. Проанализируем каждую из представленных фигур.

а

Фигура представляет собой угол, вершина которого находится в центре гомотетии $O$. Каждый из двух лучей, образующих угол, при гомотетии с $k < 0$ отобразится на луч, выходящий из той же точки $O$, но направленный в противоположную сторону. В результате образом исходного угла будет угол, вертикальный ему. Поскольку исходная фигура не является парой противоположных лучей (то есть прямой), она не совпадет со своим образом.
Ответ: не совпадает.

б

Фигура состоит из двух прямых, которые пересекаются в центре гомотетии $O$. Любая прямая, проходящая через центр гомотетии, является инвариантной относительно этой гомотетии. Для любой точки $M$ на такой прямой её образ $M'$, определяемый как $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, также будет лежать на этой прямой. Более того, любая точка этой прямой является образом некоторой другой её точки. Таким образом, каждая из двух прямых отображается на себя, а значит, и вся фигура в целом совпадает со своим образом.
Ответ: совпадает.

в

Фигура представляет собой луч, а центр гомотетии $O$ не принадлежит прямой, содержащей этот луч. Образом луча при гомотетии является луч. Так как $k < 0$, образ будет направлен в противоположную сторону по сравнению с оригиналом. Кроме того, поскольку центр $O$ не лежит на прямой, содержащей исходный луч, образ будет лежать на другой прямой, параллельной исходной. Следовательно, фигура не совпадает со своим образом.
Ответ: не совпадает.

г

Фигура является прямой, проходящей через центр гомотетии $O$. Как было показано в разборе случая б, любая прямая, проходящая через центр гомотетии, при этой гомотетии преобразуется в себя. Таким образом, фигура совпадает со своим образом.
Ответ: совпадает.

д

Фигура является отрезком, а центр гомотетии $O$ находится вне этого отрезка. Образом отрезка при гомотетии является отрезок. Так как $O$ не лежит на прямой, содержащей исходный отрезок, его образ будет лежать на другой, параллельной прямой. Следовательно, фигура не совпадет со своим образом.
Ответ: не совпадает.