Номер 745, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

745. Постройте образ треугольника $ABC$ при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = 2$ и осевой симметрии относительно прямой $l$ (рис. 232). Укажите коэффициент подобия.

Рис. 232

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить два геометрических преобразования: сначала гомотетию треугольника $ABC$ относительно центра $O$ с коэффициентом $k=2$, а затем осевую симметрию полученного треугольника относительно прямой $l$.

Шаг 1: Гомотетия

Первое преобразование — гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = 2$. При гомотетии каждая вершина треугольника $ABC$ переходит в новую точку. Образ точки $M$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это точка $M'$, для которой выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Для построения образа треугольника $A'B'C'$ найдем образы его вершин $A, B, C$:

• На луче $OA$ откладываем точку $A'$ так, чтобы расстояние $OA'$ было в два раза больше расстояния $OA$ ($OA' = 2 \cdot OA$).
• Аналогично на луче $OB$ находим точку $B'$ такую, что $OB' = 2 \cdot OB$.
• На луче $OC$ находим точку $C'$ такую, что $OC' = 2 \cdot OC$.

Соединив точки $A', B', C'$, получаем треугольник $A'B'C'$ — образ треугольника $ABC$ после гомотетии.

Шаг 2: Осевая симметрия

Второе преобразование — осевая симметрия относительно прямой $l$. Применяем это преобразование к полученному треугольнику $A'B'C'$.

Для каждой вершины треугольника $A'B'C'$ находим ее симметричный образ относительно прямой $l$. Образ точки $M'$ — это точка $M''$, лежащая на перпендикуляре к прямой $l$, проведенном из точки $M'$, на том же расстоянии от прямой $l$, но с другой стороны.

• Строим точку $A''$, симметричную точке $A'$ относительно прямой $l$.
• Строим точку $B''$, симметричную точке $B'$ относительно прямой $l$.
• Строим точку $C''$, симметричную точке $C'$ относительно прямой $l$.

Треугольник $A''B''C''$ является искомым образом треугольника $ABC$.

Для точного построения на клетчатой бумаге введем систему координат с началом в точке $O(0, 0)$ и осями, параллельными линиям сетки. Тогда вершины исходного треугольника имеют координаты: $A(1, 3)$, $B(4, 2)$, $C(2, 1)$. Прямая $l$ имеет уравнение $x=5$.

• Координаты вершин после гомотетии ($M(x, y) \rightarrow M'(2x, 2y)$):
  $A(1, 3) \rightarrow A'(2, 6)$
  $B(4, 2) \rightarrow B'(8, 4)$
  $C(2, 1) \rightarrow C'(4, 2)$
• Координаты вершин после осевой симметрии относительно $x=5$ ($M'(x', y') \rightarrow M''(2 \cdot 5 - x', y')$):
  $A'(2, 6) \rightarrow A''(10 - 2, 6) = A''(8, 6)$
  $B'(8, 4) \rightarrow B''(10 - 8, 4) = B''(2, 4)$
  $C'(4, 2) \rightarrow C''(10 - 4, 2) = C''(6, 2)$

Ответ: Искомый образ — это треугольник $A''B''C''$, полученный в результате описанных построений. В системе координат, где $O(0,0)$, его вершины находятся в точках $A''(8, 6)$, $B''(2, 4)$ и $C''(6, 2)$.

Преобразование подобия является композицией гомотетии с коэффициентом $k=2$ и осевой симметрии. Осевая симметрия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками. Коэффициент подобия для любого движения равен 1.

Коэффициент подобия композиции преобразований равен произведению их коэффициентов подобия. Таким образом, итоговый коэффициент подобия равен коэффициенту гомотетии, умноженному на коэффициент осевой симметрии.

Коэффициент подобия $= k_{\text{гомотетии}} \cdot k_{\text{симметрии}} = 2 \cdot 1 = 2$.

В общем случае, коэффициент подобия преобразования, которое является композицией гомотетии и движения, равен модулю коэффициента гомотетии. В данном случае он равен $|k| = |2| = 2$.

Ответ: 2.