Номер 742, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

742. На рисунке 229 точка $A_1$ — образ точки $A$ при гомотетии с коэффициентом:

1) $k = 3$;

2) $k = -2$.

Постройте центр гомотетии.

Рис. 228

a

$O$

$A$

$B$

$A_1$

б

$O$

$A$

$B$

$A_1$

Рис. 229

$A$

$A_1$

По определению гомотетии, центр гомотетии O, точка A и её образ A₁ лежат на одной прямой. Положение центра O относительно точек A и A₁ можно найти с помощью векторного соотношения: $ \vec{AO} = \frac{1}{1-k} \vec{AA_1} $.
Подставим в эту формулу заданный коэффициент гомотетии $k=3$:
$ \vec{AO} = \frac{1}{1-3} \vec{AA_1} = -\frac{1}{2} \vec{AA_1} $.
Это векторное равенство означает, что:

• Центр O лежит на прямой, проходящей через точки A и A₁.
• Вектор $ \vec{AO} $ направлен в сторону, противоположную вектору $ \vec{AA_1} $. Это значит, что точка A находится между точками O и A₁.
• Длина отрезка AO равна половине длины отрезка AA₁, то есть $ AO = \frac{1}{2} AA_1 $.

Построение центра гомотетии O:
1. Проведите прямую через точки A и A₁.
2. На этой прямой, на продолжении отрезка A₁A за точку A, отложите отрезок AO, длина которого равна половине длины отрезка AA₁. Для этого можно, например, найти середину отрезка AA₁ и отложить расстояние от A до середины в нужную сторону.
Ответ: Центр гомотетии O — это точка на прямой AA₁, такая, что A лежит между O и A₁, и расстояние $ AO = \frac{1}{2} AA_1 $.

Используем ту же формулу для нахождения положения центра гомотетии O: $ \vec{AO} = \frac{1}{1-k} \vec{AA_1} $.
Подставим в эту формулу значение $k=-2$:
$ \vec{AO} = \frac{1}{1-(-2)} \vec{AA_1} = \frac{1}{3} \vec{AA_1} $.
Это векторное равенство означает, что:

• Центр O лежит на прямой, проходящей через точки A и A₁.
• Вектор $ \vec{AO} $ сонаправлен с вектором $ \vec{AA_1} $, а его длина в три раза меньше. Это значит, что точка O лежит на отрезке AA₁. Такое расположение центра между прообразом и образом соответствует отрицательному коэффициенту гомотетии.
• Длина отрезка AO равна одной трети длины отрезка AA₁, то есть $ AO = \frac{1}{3} AA_1 $.

Построение центра гомотетии O:
1. Соедините точки A и A₁ отрезком.
2. Разделите отрезок AA₁ на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса).
3. Точка O будет первой точкой деления, считая от точки A.
Ответ: Центр гомотетии O — это точка на отрезке AA₁, которая делит его в отношении $ AO : OA_1 = 1:2 $.