Номер 740, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

740. Ориентируясь по клеткам, начертите пятиугольник $ABCDE$ (рис. 227).
Постройте пятиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1$, подобный данному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.

Рис. 227

Для построения пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$, подобного данному пятиугольнику $ABCDE$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$, воспользуемся методом гомотетии (преобразования подобия). Это преобразование сжимает или растягивает фигуру относительно некоторой точки (центра гомотетии).

Определение координат исходного пятиугольника

Введем систему координат, чтобы однозначно определить положение вершин. Удобно принять вершину $A$ за начало координат $(0, 0)$, а сторону одной клетки за единицу длины. Тогда, двигаясь по клеткам, найдем координаты остальных вершин пятиугольника $ABCDE$:
$A(0; 0)$
$B(0; 4)$
$C(2; 6)$
$D(7; 3)$
$E(4; 3)$

Построение подобного пятиугольника

Выберем центр гомотетии в точке $A(0;0)$. При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k$, координаты каждой точки $(x; y)$ фигуры преобразуются в координаты новой точки $(x_1; y_1)$ по формулам $x_1 = k \cdot x$ и $y_1 = k \cdot y$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$.
Вычислим координаты вершин нового пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$ путем умножения координат вершин исходного пятиугольника на $\frac{1}{2}$:
$A_1(0 \cdot \frac{1}{2}; 0 \cdot \frac{1}{2}) = A_1(0; 0)$.
$B_1(0 \cdot \frac{1}{2}; 4 \cdot \frac{1}{2}) = B_1(0; 2)$.
$C_1(2 \cdot \frac{1}{2}; 6 \cdot \frac{1}{2}) = C_1(1; 3)$.
$D_1(7 \cdot \frac{1}{2}; 3 \cdot \frac{1}{2}) = D_1(3.5; 1.5)$.
$E_1(4 \cdot \frac{1}{2}; 3 \cdot \frac{1}{2}) = E_1(2; 1.5)$.

Теперь нужно отметить полученные точки на клетчатой бумаге и соединить их последовательно. Точка $A_1$ совпадет с $A$. Точка $B_1$ будет на середине отрезка $AB$. Точки $D_1$ и $E_1$ окажутся в серединах клеток, так как их координаты нецелые. Результат построения показан на рисунке (исходный пятиугольник — черный, подобный — красный).

Ответ:

Чтобы построить пятиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1$, подобный данному с коэффициентом $\frac{1}{2}$, нужно сначала определить координаты вершин исходного пятиугольника $ABCDE$ в системе координат, где одна из вершин (например, $A$) является началом координат. Координаты вершин: $A(0; 0)$, $B(0; 4)$, $C(2; 6)$, $D(7; 3)$, $E(4; 3)$. Затем координаты каждой вершины умножаются на коэффициент подобия $\frac{1}{2}$ для получения координат вершин нового пятиугольника: $A_1(0; 0)$, $B_1(0; 2)$, $C_1(1; 3)$, $D_1(3.5; 1.5)$, $E_1(2; 1.5)$. Остается отметить эти точки на сетке и соединить их.