Номер 734, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

734. Начертите отрезок $AB$. Постройте образ этого отрезка при гомотетии с коэффициентом $k$ и центром:

1) в точке $A$, $k = 3$;

2) в точке $B$, $k = -2$;

3) в середине отрезка $AB$, $k = 2$.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $P$ в точку $P'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

Чтобы построить образ отрезка $AB$, нужно построить образы его концов, точек $A$ и $B$. Пусть их образы — это точки $A'$ и $B'$ соответственно. Тогда образом отрезка $AB$ будет отрезок $A'B'$.

1) в точке A, k = 3

Центр гомотетии — точка $A$, коэффициент $k=3$.

Сначала найдём образ точки $A$ (обозначим его $A'$). Так как центр гомотетии совпадает с точкой $A$, то для её образа $A'$ выполняется равенство $\vec{AA'} = 3 \cdot \vec{AA}$. Вектор $\vec{AA}$ — нулевой, следовательно, $\vec{AA'} = \vec{0}$, и точка $A'$ совпадает с точкой $A$. То есть, $A' = A$.

Теперь найдём образ точки $B$ (обозначим его $B'$). Для точки $B'$ выполняется равенство $\vec{AB'} = 3 \cdot \vec{AB}$. Из этого равенства следует, что, во-первых, поскольку коэффициент $k=3$ положителен, точка $B'$ лежит на луче $AB$. Во-вторых, расстояние от центра $A$ до точки $B'$ в 3 раза больше расстояния от $A$ до $B$: $|AB'| = 3|AB|$.

Для построения точки $B'$ нужно отложить от точки $A$ вдоль луча $AB$ отрезок, длина которого в три раза превышает длину отрезка $AB$. Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, то есть отрезок $AB'$.

Ответ: Образом является отрезок $AB'$, где точка $B'$ лежит на луче $AB$ и удовлетворяет условию $|AB'| = 3|AB|$.

2) в точке B, k = -2

Центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k=-2$.

Образ точки $B$ (обозначим его $B'$) совпадает с самой точкой $B$, так как она является центром гомотетии ($B' = B$).

Найдём образ точки $A$ (обозначим его $A'$). Для точки $A'$ выполняется равенство $\vec{BA'} = -2 \cdot \vec{BA}$. Из этого равенства следует, что, во-первых, поскольку коэффициент $k=-2$ отрицателен, вектор $\vec{BA'}$ направлен противоположно вектору $\vec{BA}$. Это значит, что точка $A'$ лежит на прямой $AB$, но на луче, дополнительном к лучу $BA$ (точка $B$ находится между точками $A$ и $A'$). Во-вторых, расстояние от центра $B$ до точки $A'$ в $|-2|=2$ раза больше расстояния от $B$ до $A$: $|BA'| = 2|BA|$.

Для построения точки $A'$ нужно на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отложить отрезок $BA'$, длина которого вдвое больше длины отрезка $BA$. Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, то есть отрезок $A'B$.

Ответ: Образом является отрезок $A'B$, где точка $A'$ лежит на прямой $AB$ так, что точка $B$ находится между $A$ и $A'$, и удовлетворяет условию $|BA'| = 2|BA|$.

3) в середине отрезка AB, k = 2

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Центр гомотетии — точка $M$, коэффициент $k=2$.

Найдём образ точки $A$ (обозначим его $A'$). Для точки $A'$ выполняется равенство $\vec{MA'} = 2 \cdot \vec{MA}$. Из этого следует, что точка $A'$ лежит на луче $MA$, а расстояние от $M$ до $A'$ в 2 раза больше расстояния от $M$ до $A$: $|MA'| = 2|MA|$.

Найдём образ точки $B$ (обозначим его $B'$). Для точки $B'$ выполняется равенство $\vec{MB'} = 2 \cdot \vec{MB}$. Из этого следует, что точка $B'$ лежит на луче $MB$, а расстояние от $M$ до $B'$ в 2 раза больше расстояния от $M$ до $B$: $|MB'| = 2|MB|$.

Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$. Точки $A', A, M, B, B'$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Поскольку $M$ — середина $AB$, то $|MA|=|MB|$. Тогда $|MA'|=2|MA|$ и $|MB'|=2|MB|$, значит $|MA'|=|MB'|$, и точка $M$ является серединой отрезка $A'B'$. Длина нового отрезка $A'B'$ равна $|A'B'| = |A'M| + |MB'| = 2|MA| + 2|MB| = 2(|MA|+|MB|) = 2|AB|$.

Ответ: Образом является отрезок $A'B'$, где $A'$ и $B'$ лежат на прямой $AB$ так, что $M$ (середина $AB$) является также и серединой $A'B'$, и $|A'B'| = 2|AB|$. Точка $A$ является серединой отрезка $A'M$, а точка $B$ — серединой отрезка $MB'$.