Страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В каком случае говорят, что точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$?

Говорят, что точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ (где $k \neq 0$), если выполняется векторное равенство:

$\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$

Это определение означает, что преобразование гомотетии сопоставляет каждой точке $X$ плоскости такую точку $X_1$, что:

• Точки $O$, $X$ и $X_1$ лежат на одной прямой.
• Расстояние от центра гомотетии до образа ($OX_1$) связано с расстоянием от центра до прообраза ($OX$) соотношением $|OX_1| = |k| \cdot |OX|$.
• При $k > 0$ точки $X$ и $X_1$ лежат по одну сторону от центра $O$.
• При $k < 0$ точки $X$ и $X_1$ лежат по разные стороны от центра $O$.

Ответ: Точка $X_1$ является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, если выполняется векторное равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$.

2. Опишите преобразование фигуры $F$, которое называют гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$.

Гомотетией фигуры $F$ с центром в точке $O$ и ненулевым коэффициентом $k$ ($k \neq 0$) называется такое преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры $F$ отображается на точку $M'$ так, что выполняется векторное соотношение:

$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

Из этого равенства следует, что точки $O$, $M$ и ее образ $M'$ лежат на одной прямой. Положение точки $M'$ на этой прямой определяется знаком и величиной коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, то точка $M'$ лежит на луче $OM$ (то есть $M$ и $M'$ находятся по одну сторону от центра $O$). Расстояние от центра $O$ до точки $M'$ равно произведению расстояния от $O$ до $M$ на коэффициент $k$: $|OM'| = k \cdot |OM|$.
• Если $k < 0$, то точка $M'$ лежит на луче, противоположном лучу $OM$ (то есть $M$ и $M'$ находятся по разные стороны от центра $O$). Расстояние от центра $O$ до точки $M'$ равно произведению расстояния от $O$ до $M$ на модуль коэффициента $|k|$: $|OM'| = |k| \cdot |OM|$.

Таким образом, гомотетия является преобразованием подобия. Фигура $F'$, полученная в результате гомотетии фигуры $F$, подобна исходной фигуре, а коэффициент подобия равен $|k|$.

Некоторые важные свойства и частные случаи гомотетии:

• Центр гомотетии $O$ является неподвижной точкой, то есть отображается сам на себя.
• Если $|k| > 1$, гомотетия является растяжением (фигура увеличивается).
• Если $0 < |k| < 1$, гомотетия является сжатием (фигура уменьшается).
• Если $k = 1$, гомотетия является тождественным преобразованием, так как каждая точка отображается на саму себя.
• Если $k = -1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.

Ответ: Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование фигуры, при котором каждая ее точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. В результате этого преобразования фигура переходит в подобную ей фигуру с коэффициентом подобия $|k|$.

3. Как изменяется расстояние между точками при гомотетии с коэффициентом $k$?

Гомотетия — это преобразование подобия, которое преобразует каждую точку $M$ плоскости (или пространства) в точку $M'$ таким образом, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — ненулевое число, называемое коэффициентом гомотетии.

Рассмотрим две произвольные точки $A$ и $B$ и их образы $A'$ и $B'$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$. Нам нужно найти, как соотносятся расстояние $A'B'$ и расстояние $AB$.

По определению гомотетии имеем следующие векторные соотношения:

$\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$

$\vec{OB'} = k \cdot \vec{OB}$

Выразим вектор $\vec{A'B'}$ через векторы, идущие из центра гомотетии, используя правило треугольника (или правило вычитания векторов):

$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\vec{OA'}$ и $\vec{OB'}$:

$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$\vec{A'B'} = k (\vec{OB} - \vec{OA})$

Выражение в скобках $\vec{OB} - \vec{OA}$ равно вектору $\vec{AB}$. Таким образом, мы получаем связь между векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$

Расстояние между точками — это длина (или модуль) вектора, соединяющего эти точки. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $AB = |\vec{AB}|$, а расстояние между точками $A'$ и $B'$ равно $A'B' = |\vec{A'B'}|$.

Найдем модуль вектора $\vec{A'B'}|$:

$A'B' = |\vec{A'B'}| = |k \cdot \vec{AB}| = |k| \cdot |\vec{AB}| = |k| \cdot AB$

Таким образом, мы доказали, что расстояние между образами двух точек при гомотетии равно произведению расстояния между исходными точками на модуль коэффициента гомотетии.

Ответ: При гомотетии с коэффициентом $k$ расстояние между точками изменяется в $|k|$ раз. Если исходное расстояние между точками равно $d$, то после гомотетии оно станет равным $d' = |k| \cdot d$.

4. Сформулируйте свойства гомотетии.

Гомотетия (или гомотетическое преобразование) с центром O и коэффициентом k, не равным нулю, — это преобразование плоскости или пространства, при котором каждая точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство: $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Основные свойства гомотетии:

Преобразование прямых. Гомотетия переводит любую прямую в прямую, параллельную исходной. Если прямая проходит через центр гомотетии, она переходит сама в себя.

Сохранение углов. Гомотетия сохраняет величину углов. Угол между двумя прямыми равен углу между их образами.

Подобие фигур. Любая фигура при гомотетии переходит в подобную ей фигуру. Соответствующие стороны фигур-образов параллельны соответствующим сторонам исходных фигур.

Изменение расстояний. Расстояние между любыми двумя точками A и B при гомотетии с коэффициентом k изменяется в $|k|$ раз. Если A' и B' — образы точек A и B, то длина отрезка A'B' равна $A'B' = |k| \cdot AB$.

Изменение площадей. Площадь любой плоской фигуры при гомотетии с коэффициентом k изменяется в $k^2$ раз. Если S — площадь исходной фигуры, а S' — площадь ее образа, то $S' = k^2 \cdot S$.

Изменение объемов. В пространстве объем любого тела при гомотетии с коэффициентом k изменяется в $|k|^3$ раз. Если V — объем исходного тела, а V' — объем его образа, то $V' = |k|^3 \cdot V$.

Обратное преобразование. Преобразование, обратное гомотетии с центром O и коэффициентом k, является гомотетией с тем же центром O и коэффициентом $\frac{1}{k}$.

Композиция гомотетий. Композиция (последовательное применение) двух гомотетий с одним и тем же центром O и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является гомотетией с тем же центром O и коэффициентом, равным произведению коэффициентов: $k = k_1 \cdot k_2$.

Частные случаи. Если $k = 1$, гомотетия является тождественным преобразованием (каждая точка остается на месте). Если $k = -1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра гомотетии O.

Ответ: Свойства гомотетии заключаются в том, что она является преобразованием подобия, которое переводит прямые в параллельные им прямые, сохраняет углы, изменяет расстояния в $|k|$ раз, площади в $k^2$ раз и объемы в $|k|^3$ раз (где $k$ — коэффициент гомотетии). Также существуют свойства, описывающие обратное преобразование и композицию гомотетий.

5. Какие фигуры называют подобными?

В геометрии две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Это означает, что одну фигуру можно получить из другой путем равномерного увеличения или уменьшения (гомотетии), а затем, возможно, переместить, повернуть или зеркально отразить (то есть выполнить движение).

Более формально, фигуры $F_1$ и $F_2$ подобны, если существует преобразование подобия, которое переводит фигуру $F_1$ в фигуру $F_2$. При таком преобразовании для любых двух точек $A$ и $B$ фигуры $F_1$ и их соответствующих образов $A'$ и $B'$ в фигуре $F_2$ отношение расстояний между ними постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:

$|A'B'| = k \cdot |AB|$, где $k > 0$.

Из этого определения следуют основные свойства подобных фигур:
- Соответствующие углы равны.
- Соответствующие отрезки (стороны, высоты, диагонали и т.д.) пропорциональны, и их отношение равно коэффициенту подобия $k$.
Также важно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($S_2/S_1 = k^2$), а отношение объемов подобных тел — кубу ($V_2/V_1 = k^3$).

Примерами подобных фигур являются любые два круга, любые два квадрата или любые два равносторонних треугольника.

Ответ: Подобными называют фигуры, имеющие одинаковую форму, но, возможно, разный размер. Это значит, что все соответствующие углы у них равны, а все соответствующие линейные размеры (стороны, диагонали и т.д.) пропорциональны, то есть отличаются в одинаковое число раз, называемое коэффициентом подобия.

6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?

5. Какие фигуры называют подобными?

Две геометрические фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но могут различаться в размерах. Более строго, одна фигура получается из другой преобразованием подобия. Преобразование подобия (или просто подобие) — это преобразование, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ фигуры и их образов $A'$ и $B'$ отношение длин отрезков $\frac{A'B'}{AB}$ является постоянной величиной. Эта величина $k$ называется коэффициентом подобия ($k>0$). Таким образом, для любых точек $A$ и $B$ выполняется равенство: $A'B' = k \cdot AB$.
Для многоугольников это означает, что их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Например, два многоугольника $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$ подобны, если:
1) их соответственные углы равны: $\angle A_1 = \angle B_1$, $\angle A_2 = \angle B_2$, ..., $\angle A_n = \angle B_n$;
2) их соответственные стороны пропорциональны: $\frac{B_1B_2}{A_1A_2} = \frac{B_2B_3}{A_2A_3} = \dots = \frac{B_nB_1}{A_nA_1} = k$.
Примерами подобных фигур являются любые два квадрата, любые два круга или любые два равносторонних треугольника.

Ответ: Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, то есть существует преобразование, при котором все расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (коэффициент подобия). Для многоугольников это означает равенство соответственных углов и пропорциональность соответственных сторон.

6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?

Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Пусть даны два подобных многоугольника $M_1$ и $M_2$ с площадями $S_1$ и $S_2$ соответственно. Пусть $k$ — коэффициент их подобия. Коэффициент подобия — это отношение длин соответственных сторон. Например, если $a_1$ и $a_2$ — длины соответственных сторон многоугольников $M_1$ и $M_2$, то $k = \frac{a_2}{a_1}$.
Тогда отношение их площадей выражается формулой: $$ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $$ Или, что то же самое: $$ \frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 $$ Идея доказательства: Любой многоугольник можно разбить на треугольники (триангулировать). Если два многоугольника подобны с коэффициентом $k$, то их можно разбить на соответственные подобные треугольники с тем же коэффициентом подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поскольку площади многоугольников являются суммами площадей составляющих их треугольников, то и отношение площадей самих многоугольников будет равно $k^2$.
Например, если стороны одного квадрата в 3 раза больше сторон другого квадрата ($k=3$), то его площадь будет в $3^2 = 9$ раз больше.

Ответ: Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Практические задания

733. Постройте образ отрезка AB (рис. 226) при гомотетии с центром O и коэффициентом: 1) $k = 2$; 2) $k = -\frac{1}{2}$.

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ в точку $M'$, так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Чтобы построить образ отрезка $AB$, необходимо построить образы его конечных точек, $A$ и $B$, а затем соединить их отрезком. Введем систему координат с началом в точке $O$, как показано на рисунке. Примем длину стороны клетки за единицу. Тогда точки имеют следующие координаты: центр гомотетии $O(0, 0)$, точка $A(1, 3)$ и точка $B(4, 1)$.

Координаты $(x', y')$ образа точки $(x, y)$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k$ вычисляются по формулам: $x' = kx$, $y' = ky$.

Для построения образа отрезка $AB$ найдем образы его концов — точек $A$ и $B$. Пусть их образами будут точки $A'$ и $B'$.

Для точки $A(1, 3)$ координаты ее образа $A'(x_{A'}, y_{A'})$ вычисляются следующим образом:

$x_{A'} = k \cdot x_A = 2 \cdot 1 = 2$

$y_{A'} = k \cdot y_A = 2 \cdot 3 = 6$

Следовательно, координаты точки $A'$ — $(2, 6)$. Геометрически это означает, что точка $A'$ лежит на луче $OA$ на расстоянии $|OA'| = 2 \cdot |OA|$ от центра $O$.

Для точки $B(4, 1)$ координаты ее образа $B'(x_{B'}, y_{B'})$ вычисляются так:

$x_{B'} = k \cdot x_B = 2 \cdot 4 = 8$

$y_{B'} = k \cdot y_B = 2 \cdot 1 = 2$

Следовательно, координаты точки $B'$ — $(8, 2)$. Геометрически это означает, что точка $B'$ лежит на луче $OB$ на расстоянии $|OB'| = 2 \cdot |OB|$ от центра $O$.

Соединив точки $A'(2, 6)$ и $B'(8, 2)$, получаем отрезок $A'B'$, который и является искомым образом отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$ с концами в точках $A'(2, 6)$ и $B'(8, 2)$.

Найдем образы концов отрезка, точек $A$ и $B$. Пусть их образами будут точки $A''$ и $B''$.

Для точки $A(1, 3)$ координаты ее образа $A''(x_{A''}, y_{A''})$:

$x_{A''} = k \cdot x_A = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$

$y_{A''} = k \cdot y_A = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -1.5$

Таким образом, координаты точки $A''$ — $(-0.5, -1.5)$. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, точка $A''$ лежит на луче, противоположном лучу $OA$, на расстоянии $|OA''| = |-\frac{1}{2}| \cdot |OA| = \frac{1}{2}|OA|$ от центра $O$.

Для точки $B(4, 1)$ координаты ее образа $B''(x_{B''}, y_{B''})$:

$x_{B''} = k \cdot x_B = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$

$y_{B''} = k \cdot y_B = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$

Таким образом, координаты точки $B''$ — $(-2, -0.5)$. Точка $B''$ лежит на луче, противоположном лучу $OB$, на расстоянии $|OB''| = |-\frac{1}{2}| \cdot |OB| = \frac{1}{2}|OB|$ от центра $O$.

Соединив точки $A''(-0.5, -1.5)$ и $B''(-2, -0.5)$, получаем отрезок $A''B''$, который является искомым образом отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A''B''$ с концами в точках $A''(-0.5, -1.5)$ и $B''(-2, -0.5)$.

734. Начертите отрезок $AB$. Постройте образ этого отрезка при гомотетии с коэффициентом $k$ и центром:

1) в точке $A$, $k = 3$;

2) в точке $B$, $k = -2$;

3) в середине отрезка $AB$, $k = 2$.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $P$ в точку $P'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

Чтобы построить образ отрезка $AB$, нужно построить образы его концов, точек $A$ и $B$. Пусть их образы — это точки $A'$ и $B'$ соответственно. Тогда образом отрезка $AB$ будет отрезок $A'B'$.

1) в точке A, k = 3

Центр гомотетии — точка $A$, коэффициент $k=3$.

Сначала найдём образ точки $A$ (обозначим его $A'$). Так как центр гомотетии совпадает с точкой $A$, то для её образа $A'$ выполняется равенство $\vec{AA'} = 3 \cdot \vec{AA}$. Вектор $\vec{AA}$ — нулевой, следовательно, $\vec{AA'} = \vec{0}$, и точка $A'$ совпадает с точкой $A$. То есть, $A' = A$.

Теперь найдём образ точки $B$ (обозначим его $B'$). Для точки $B'$ выполняется равенство $\vec{AB'} = 3 \cdot \vec{AB}$. Из этого равенства следует, что, во-первых, поскольку коэффициент $k=3$ положителен, точка $B'$ лежит на луче $AB$. Во-вторых, расстояние от центра $A$ до точки $B'$ в 3 раза больше расстояния от $A$ до $B$: $|AB'| = 3|AB|$.

Для построения точки $B'$ нужно отложить от точки $A$ вдоль луча $AB$ отрезок, длина которого в три раза превышает длину отрезка $AB$. Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, то есть отрезок $AB'$.

Ответ: Образом является отрезок $AB'$, где точка $B'$ лежит на луче $AB$ и удовлетворяет условию $|AB'| = 3|AB|$.

2) в точке B, k = -2

Центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k=-2$.

Образ точки $B$ (обозначим его $B'$) совпадает с самой точкой $B$, так как она является центром гомотетии ($B' = B$).

Найдём образ точки $A$ (обозначим его $A'$). Для точки $A'$ выполняется равенство $\vec{BA'} = -2 \cdot \vec{BA}$. Из этого равенства следует, что, во-первых, поскольку коэффициент $k=-2$ отрицателен, вектор $\vec{BA'}$ направлен противоположно вектору $\vec{BA}$. Это значит, что точка $A'$ лежит на прямой $AB$, но на луче, дополнительном к лучу $BA$ (точка $B$ находится между точками $A$ и $A'$). Во-вторых, расстояние от центра $B$ до точки $A'$ в $|-2|=2$ раза больше расстояния от $B$ до $A$: $|BA'| = 2|BA|$.

Для построения точки $A'$ нужно на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отложить отрезок $BA'$, длина которого вдвое больше длины отрезка $BA$. Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, то есть отрезок $A'B$.

Ответ: Образом является отрезок $A'B$, где точка $A'$ лежит на прямой $AB$ так, что точка $B$ находится между $A$ и $A'$, и удовлетворяет условию $|BA'| = 2|BA|$.

3) в середине отрезка AB, k = 2

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Центр гомотетии — точка $M$, коэффициент $k=2$.

Найдём образ точки $A$ (обозначим его $A'$). Для точки $A'$ выполняется равенство $\vec{MA'} = 2 \cdot \vec{MA}$. Из этого следует, что точка $A'$ лежит на луче $MA$, а расстояние от $M$ до $A'$ в 2 раза больше расстояния от $M$ до $A$: $|MA'| = 2|MA|$.

Найдём образ точки $B$ (обозначим его $B'$). Для точки $B'$ выполняется равенство $\vec{MB'} = 2 \cdot \vec{MB}$. Из этого следует, что точка $B'$ лежит на луче $MB$, а расстояние от $M$ до $B'$ в 2 раза больше расстояния от $M$ до $B$: $|MB'| = 2|MB|$.

Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$. Точки $A', A, M, B, B'$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Поскольку $M$ — середина $AB$, то $|MA|=|MB|$. Тогда $|MA'|=2|MA|$ и $|MB'|=2|MB|$, значит $|MA'|=|MB'|$, и точка $M$ является серединой отрезка $A'B'$. Длина нового отрезка $A'B'$ равна $|A'B'| = |A'M| + |MB'| = 2|MA| + 2|MB| = 2(|MA|+|MB|) = 2|AB|$.

Ответ: Образом является отрезок $A'B'$, где $A'$ и $B'$ лежат на прямой $AB$ так, что $M$ (середина $AB$) является также и серединой $A'B'$, и $|A'B'| = 2|AB|$. Точка $A$ является серединой отрезка $A'M$, а точка $B$ — серединой отрезка $MB'$.

735. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см, и отметьте на ней точку $A$. Постройте образ этой окружности при гомотетии с коэффициентом $k$ и центром:

1) в центре окружности, $k = -\frac{1}{2}$, $k = 2$;

2) в точке $A$, $k = 2$, $k = -\frac{1}{2}$.

По условию задачи дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 2$ см. На этой окружности выбрана точка $A$.

Гомотетия — это преобразование подобия. Образом окружности при гомотетии является окружность. Радиус новой окружности $R'$ связан с радиусом исходной окружности $R$ через коэффициент гомотетии $k$ формулой: $R' = |k| \cdot R$. Центр новой окружности $O'$ является образом центра исходной окружности $O$ при данной гомотетии.

Если центр гомотетии совпадает с центром окружности, то центр окружности является неподвижной точкой. Это означает, что центр новой окружности $O'$ совпадает с центром исходной окружности $O$. Новая окружность будет концентрична исходной.

• При коэффициенте $k = -\frac{1}{2}$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |-\frac{1}{2}| \cdot 2 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

  Образом является окружность с центром в точке $O$ и радиусом 1 см.

  Ответ: Окружность, концентрическая данной, с радиусом 1 см.

• При коэффициенте $k = 2$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |2| \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

  Образом является окружность с центром в точке $O$ и радиусом 4 см.

  Ответ: Окружность, концентрическая данной, с радиусом 4 см.

Если центр гомотетии находится в точке $A$ на окружности, то центр новой окружности $O'$ определяется векторным равенством $\vec{AO'} = k \cdot \vec{AO}$. Точка $A$ при этом является неподвижной, и новая окружность будет проходить через точку $A$.

• При коэффициенте $k = 2$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |2| \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

  Центр новой окружности $O'$ находится на прямой $AO$ и удовлетворяет условию $\vec{AO'} = 2 \cdot \vec{AO}$. Это означает, что точка $O'$ лежит на луче, исходящем из $A$ и проходящем через $O$, а расстояние $AO'$ равно $2 \cdot AO = 2 \cdot R = 2 \cdot 2 = 4$ см. Точка $O$ является серединой отрезка $AO'$.

  Для построения нужно провести луч $AO$ и отложить на нем от точки $A$ отрезок $AO'$ длиной 4 см. Затем построить окружность с центром в точке $O'$ и радиусом 4 см.

  Ответ: Окружность с центром $O'$ на луче $AO$ на расстоянии 4 см от точки $A$ и радиусом 4 см.

• При коэффициенте $k = -\frac{1}{2}$:

  Радиус новой окружности $R'$ будет равен:

  $R' = |k| \cdot R = |-\frac{1}{2}| \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

  Центр новой окружности $O'$ находится на прямой $AO$ и удовлетворяет условию $\vec{AO'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{AO}$. Это означает, что вектор $\vec{AO'}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{AO}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{AO}$. Расстояние $AO' = \frac{1}{2} \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см. Точка $A$ лежит на отрезке $O'O$.

  Для построения нужно на прямой $AO$ отложить от точки $A$ в направлении, противоположном лучу $AO$, отрезок $AO'$ длиной 1 см. Затем построить окружность с центром в точке $O'$ и радиусом 1 см.

  Ответ: Окружность с центром $O'$ на прямой $AO$ на расстоянии 1 см от точки $A$ (точка $A$ лежит между $O'$ и $O$) и радиусом 1 см.

736. Начертите треугольник ABC. Постройте образ этого треугольника при гомотетии с коэффициентом $k$ и центром:

1) в точке B, $k = 3$;

2) в точке C, $k = -\frac{1}{2}$;

3) в точке A, $k = \frac{1}{2}$;

4) в середине стороны AB, $k = \frac{1}{2}$;

5) в середине стороны AC, $k = -\frac{1}{3}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольный треугольник ABC. Для каждого пункта построим образ этого треугольника, который обозначим как A'B'C'. По определению гомотетии с центром O и коэффициентом k, образ любой точки M есть такая точка M', что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Центром гомотетии является вершина B, коэффициент $k=3$.

1. Поскольку центр гомотетии совпадает с вершиной B, ее образ B' совпадает с самой точкой B, то есть $B' = B$.
2. Для построения образа вершины A, точки A', проведем луч BA. На этом луче отложим от точки B отрезок BA' так, чтобы его длина была в три раза больше длины отрезка BA: $|BA'| = 3 \cdot |BA|$. Векторно это соответствует равенству $\vec{BA'} = 3 \cdot \vec{BA}$.
3. Аналогично для построения образа вершины C, точки C', проведем луч BC. На этом луче отложим от точки B отрезок BC' так, чтобы его длина была в три раза больше длины отрезка BC: $|BC'| = 3 \cdot |BC|$. Векторно это соответствует равенству $\vec{BC'} = 3 \cdot \vec{BC}$.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'BC' (так как $B'=B$).

Ответ: Образом является треугольник A'BC', где вершина B' совпадает с B, вершина A' лежит на луче BA так, что $|BA'| = 3|BA|$, а вершина C' лежит на луче BC так, что $|BC'| = 3|BC|$.

Центром гомотетии является вершина C, коэффициент $k = -1/2$.

1. Образ вершины C, точки C', совпадает с самой точкой C, так как она является центром гомотетии: $C' = C$.
2. Для построения образа вершины A, точки A', используем векторное соотношение $\vec{CA'} = -\frac{1}{2} \vec{CA}$. Так как коэффициент $k$ отрицателен, точка A' будет лежать на луче, противоположном лучу CA, то есть на отрезке AC. Длина отрезка CA' будет равна $|CA'| = |-\frac{1}{2}| \cdot |CA| = \frac{1}{2} |CA|$. Следовательно, A' является серединой стороны AC.
3. Аналогично для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{CB'} = -\frac{1}{2} \vec{CB}$. Точка B' будет лежать на отрезке BC, и её положение определится условием $|CB'| = \frac{1}{2} |CB|$. Следовательно, B' является серединой стороны BC.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'B'C (так как $C'=C$). Сторона A'B' является средней линией треугольника ABC.

Ответ: Образом является треугольник A'B'C, где вершина C' совпадает с C, вершина A' – середина стороны AC, а вершина B' – середина стороны BC.

Центром гомотетии является вершина A, коэффициент $k = 1/2$.

1. Образ вершины A, точки A', совпадает с самой точкой A, так как она является центром гомотетии: $A' = A$.
2. Для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{AB'} = \frac{1}{2} \vec{AB}$. Так как коэффициент $k$ положителен, точка B' лежит на луче AB (то есть на отрезке AB). Длина отрезка AB' равна $|AB'| = \frac{1}{2} |AB|$. Следовательно, B' является серединой стороны AB.
3. Для построения образа вершины C, точки C', используем соотношение $\vec{AC'} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. Точка C' лежит на луче AC (то есть на отрезке AC), и её положение определяется условием $|AC'| = \frac{1}{2} |AC|$. Следовательно, C' является серединой стороны AC.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник AB'C' (так как $A'=A$). Сторона B'C' является средней линией треугольника ABC.

Ответ: Образом является треугольник AB'C', где вершина A' совпадает с A, вершина B' – середина стороны AB, а вершина C' – середина стороны AC.

Центром гомотетии O является середина стороны AB. Обозначим эту точку M. Коэффициент $k = 1/2$.

1. Для построения образа вершины A, точки A', используем соотношение $\vec{MA'} = \frac{1}{2} \vec{MA}$. Точка A' лежит на отрезке MA, и её положение определяется условием $|MA'| = \frac{1}{2} |MA|$. Таким образом, A' является серединой отрезка MA.
2. Для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{MB'} = \frac{1}{2} \vec{MB}$. Точка B' лежит на отрезке MB, и её положение определяется условием $|MB'| = \frac{1}{2} |MB|$. Таким образом, B' является серединой отрезка MB.
3. Для построения образа вершины C, точки C', используем соотношение $\vec{MC'} = \frac{1}{2} \vec{MC}$. Точка C' лежит на отрезке MC, и её положение определяется условием $|MC'| = \frac{1}{2} |MC|$. Таким образом, C' является серединой медианы CM, проведенной из вершины C.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: Образом является треугольник A'B'C', где центр гомотетии M – середина AB, вершина A' – середина отрезка AM, вершина B' – середина отрезка BM, а вершина C' – середина медианы CM.

Центром гомотетии O является середина стороны AC. Обозначим эту точку N. Коэффициент $k = -1/3$.

1. Для построения образа вершины A, точки A', используем соотношение $\vec{NA'} = -\frac{1}{3} \vec{NA}$. Так как коэффициент отрицателен, точка A' лежит на луче, противоположном лучу NA (то есть на луче NC), на расстоянии $|NA'| = |-\frac{1}{3}| \cdot |NA| = \frac{1}{3} |NA|$ от точки N.
2. Для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{NB'} = -\frac{1}{3} \vec{NB}$. Точка B' лежит на луче, противоположном лучу NB, на расстоянии $|NB'| = |-\frac{1}{3}| \cdot |NB| = \frac{1}{3} |NB|$ от точки N.
3. Для построения образа вершины C, точки C', используем соотношение $\vec{NC'} = -\frac{1}{3} \cdot \vec{NC}$. Точка C' лежит на луче, противоположном лучу NC (то есть на луче NA), на расстоянии $|NC'| = |-\frac{1}{3}| \cdot |NC| = \frac{1}{3} |NC|$ от точки N.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: Образом является треугольник A'B'C', где центр гомотетии N – середина AC, вершина A' лежит на отрезке NC так, что $|NA'| = \frac{1}{3} |NA|$, вершина B' лежит на луче, противоположном лучу NB, так, что $|NB'| = \frac{1}{3} |NB|$, а вершина C' лежит на отрезке NA так, что $|NC'| = \frac{1}{3} |NC|$.