Страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

751. Какие из фигур, изображённых на рисунке 235, совпадают со своими образами при гомотетии с центром O и коэффициентом $k < 0$?

Рис. 235

а

б

в

г

д

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $M$ в точку $M'$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

В условии задачи коэффициент гомотетии $k < 0$. Это означает, что образ $M'$ любой точки $M$ лежит на прямой $OM$ по другую сторону от центра $O$ на расстоянии $|OM'| = |k| \cdot |OM|$ от него. Такое преобразование является композицией двух преобразований: центральной симметрии относительно точки $O$ и гомотетии с тем же центром $O$ и положительным коэффициентом $|k|$.

Фигура совпадет со своим образом, если она инвариантна относительно данного преобразования, то есть переходит сама в себя. Проанализируем каждую из представленных фигур.

а

Фигура представляет собой угол, вершина которого находится в центре гомотетии $O$. Каждый из двух лучей, образующих угол, при гомотетии с $k < 0$ отобразится на луч, выходящий из той же точки $O$, но направленный в противоположную сторону. В результате образом исходного угла будет угол, вертикальный ему. Поскольку исходная фигура не является парой противоположных лучей (то есть прямой), она не совпадет со своим образом.
Ответ: не совпадает.

б

Фигура состоит из двух прямых, которые пересекаются в центре гомотетии $O$. Любая прямая, проходящая через центр гомотетии, является инвариантной относительно этой гомотетии. Для любой точки $M$ на такой прямой её образ $M'$, определяемый как $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, также будет лежать на этой прямой. Более того, любая точка этой прямой является образом некоторой другой её точки. Таким образом, каждая из двух прямых отображается на себя, а значит, и вся фигура в целом совпадает со своим образом.
Ответ: совпадает.

в

Фигура представляет собой луч, а центр гомотетии $O$ не принадлежит прямой, содержащей этот луч. Образом луча при гомотетии является луч. Так как $k < 0$, образ будет направлен в противоположную сторону по сравнению с оригиналом. Кроме того, поскольку центр $O$ не лежит на прямой, содержащей исходный луч, образ будет лежать на другой прямой, параллельной исходной. Следовательно, фигура не совпадает со своим образом.
Ответ: не совпадает.

г

Фигура является прямой, проходящей через центр гомотетии $O$. Как было показано в разборе случая б, любая прямая, проходящая через центр гомотетии, при этой гомотетии преобразуется в себя. Таким образом, фигура совпадает со своим образом.
Ответ: совпадает.

д

Фигура является отрезком, а центр гомотетии $O$ находится вне этого отрезка. Образом отрезка при гомотетии является отрезок. Так как $O$ не лежит на прямой, содержащей исходный отрезок, его образ будет лежать на другой, параллельной прямой. Следовательно, фигура не совпадет со своим образом.
Ответ: не совпадает.

752. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ (рис. 236). Найдите коэффициент гомотетии с центром:

1) в точке $B$, при которой точка $B_1$ является образом точки $M$;

2) в точке $M$, при которой точка $A_1$ является образом точки $A$;

3) в точке $C$, при которой точка $M$ является образом точки $C_1$.

Рис. 236

Медианы треугольника $ABC$ ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) пересекаются в одной точке $M$, которая называется центроидом. Свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть: $AM : MA_1 = 2:1$ $BM : MB_1 = 2:1$ $CM : MC_1 = 2:1$

Из этих соотношений можно выразить длины отрезков: $BM = \frac{2}{3}BB_1$, $MB_1 = \frac{1}{3}BB_1$, следовательно, $BB_1 = \frac{3}{2}BM$. $AM = \frac{2}{3}AA_1$, $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$, следовательно, $MA_1 = \frac{1}{2}AM$. $CM = \frac{2}{3}CC_1$, $MC_1 = \frac{1}{3}CC_1$, следовательно, $CC_1 = \frac{3}{2}CM$.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ отображает точку $P$ в точку $P'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$. Коэффициент $k$ можно найти как отношение длин векторов, учитывая их направление.

1) Найдем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $B$, при которой точка $B_1$ является образом точки $M$. Центр гомотетии — $B$, прообраз — $M$, образ — $B_1$. По определению гомотетии, $\vec{BB_1} = k \cdot \vec{BM}$. Точки $B$, $M$ и $B_1$ лежат на одной прямой (медиане $BB_1$). Векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{BM}$ сонаправлены, так как точка $M$ лежит между $B$ и $B_1$. Следовательно, коэффициент $k$ будет положительным. Значение $k$ равно отношению длин: $k = \frac{|BB_1|}{|BM|}$. Используя свойство медиан, мы знаем, что $|BM| = \frac{2}{3}|BB_1|$, откуда $|BB_1| = \frac{3}{2}|BM|$. Подставим это в формулу для $k$: $k = \frac{\frac{3}{2}|BM|}{|BM|} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $1,5$.

2) Найдем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $M$, при которой точка $A_1$ является образом точки $A$. Центр гомотетии — $M$, прообраз — $A$, образ — $A_1$. По определению гомотетии, $\vec{MA_1} = k \cdot \vec{MA}$. Точки $A$, $M$ и $A_1$ лежат на одной прямой (медиане $AA_1$). Векторы $\vec{MA_1}$ и $\vec{MA}$ противоположно направлены, так как точка $M$ лежит между $A$ и $A_1$. Следовательно, коэффициент $k$ будет отрицательным. Модуль коэффициента $|k|$ равен отношению длин: $|k| = \frac{|MA_1|}{|MA|}$. Из свойства медиан $|AM| : |MA_1| = 2:1$, что означает $|MA| = 2|MA_1|$. Подставим это в формулу для $|k|$: $|k| = \frac{|MA_1|}{2|MA_1|} = \frac{1}{2}$. Так как $k$ — отрицательное число, то $k = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-0,5$.

3) Найдем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $C$, при которой точка $M$ является образом точки $C_1$. Центр гомотетии — $C$, прообраз — $C_1$, образ — $M$. По определению гомотетии, $\vec{CM} = k \cdot \vec{CC_1}$. Точки $C$, $M$ и $C_1$ лежат на одной прямой (медиане $CC_1$). Векторы $\vec{CM}$ и $\vec{CC_1}$ сонаправлены, так как точка $M$ лежит между $C$ и $C_1$. Следовательно, коэффициент $k$ будет положительным. Значение $k$ равно отношению длин: $k = \frac{|CM|}{|CC_1|}$. Используя свойство медиан, мы знаем, что $|CM| = \frac{2}{3}|CC_1|$. Подставим это в формулу для $k$: $k = \frac{\frac{2}{3}|CC_1|}{|CC_1|} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

Рис. 236

753. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ (см. рис. 236). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$.

752.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке $M$ (центроид), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для медиан $AA_1, BB_1, CC_1$ выполняются следующие соотношения:

• $AM : MA_1 = 2 : 1$
• $BM : MB_1 = 2 : 1$
• $CM : MC_1 = 2 : 1$

Из этих пропорций следуют равенства для длин отрезков:

• $|AM| = 2|MA_1|$, откуда $|MA_1| = \frac{1}{3}|AA_1|$ и $|AM| = \frac{2}{3}|AA_1|$
• $|BM| = 2|MB_1|$, откуда $|MB_1| = \frac{1}{3}|BB_1|$ и $|BM| = \frac{2}{3}|BB_1|$
• $|CM| = 2|MC_1|$, откуда $|MC_1| = \frac{1}{3}|CC_1|$ и $|CM| = \frac{2}{3}|CC_1|$

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ переводит точку $P$ в точку $P'$, так что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

1)

Ищем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $B$, при которой точка $B_1$ является образом точки $M$.

Согласно определению гомотетии, $\vec{BB_1} = k \cdot \vec{BM}$.

Точки $B, M, B_1$ лежат на одной прямой (медиане $BB_1$). Векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BB_1}$ направлены в одну и ту же сторону, значит, коэффициент $k$ положителен.

Коэффициент $k$ равен отношению длин векторов: $k = \frac{|\vec{BB_1}|}{|\vec{BM}|} = \frac{|BB_1|}{|BM|}$.

Из свойства медиан известно, что $|BM| = \frac{2}{3}|BB_1|$.

Подставляя это в формулу для $k$, получаем: $k = \frac{|BB_1|}{\frac{2}{3}|BB_1|} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $k = \frac{3}{2}$.

2)

Ищем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $M$, при которой точка $A_1$ является образом точки $A$.

Согласно определению гомотетии, $\vec{MA_1} = k \cdot \vec{MA}$.

Точки $A, M, A_1$ лежат на одной прямой (медиане $AA_1$). Центр гомотетии $M$ находится между точкой $A$ и ее образом $A_1$, поэтому векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ направлены в противоположные стороны. Это означает, что коэффициент $k$ отрицателен.

Модуль коэффициента $|k|$ равен отношению длин отрезков: $|k| = \frac{|MA_1|}{|MA|}$.

Из свойства медиан $|MA| = 2|MA_1|$.

Тогда $|k| = \frac{|MA_1|}{2|MA_1|} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $k$ отрицателен, $k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

3)

Ищем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $C$, при которой точка $M$ является образом точки $C_1$.

Согласно определению гомотетии, $\vec{CM} = k \cdot \vec{CC_1}$.

Точки $C, M, C_1$ лежат на одной прямой (медиане $CC_1$). Точка $M$ (образ) лежит между центром $C$ и прообразом $C_1$, поэтому векторы $\vec{CM}$ и $\vec{CC_1}$ сонаправлены. Следовательно, коэффициент $k$ положителен.

Коэффициент $k$ равен отношению длин: $k = \frac{|CM|}{|CC_1|}$.

Из свойства медиан $|CM| = \frac{2}{3}|CC_1|$.

Тогда $k = \frac{\frac{2}{3}|CC_1|}{|CC_1|} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $k = \frac{2}{3}$.

753.

Требуется найти центр и коэффициент гомотетии, при которой треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$.

Пусть $O$ — центр искомой гомотетии, а $k$ — её коэффициент. При такой гомотетии образом вершины $A$ треугольника $ABC$ должна быть одна из вершин треугольника $A_1B_1C_1$, образом $B$ — другая, и образом $C$ — третья. Логично предположить, что гомотетия переводит $A \rightarrow A_1$, $B \rightarrow B_1$, $C \rightarrow C_1$.

Если это так, то центр гомотетии $O$ должен лежать на прямых, соединяющих прообразы и их образы, то есть на прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Эти прямые являются медианами треугольника $ABC$ и пересекаются в одной точке — центроиде $M$. Следовательно, центром гомотетии является точка $M$.

Найдем коэффициент гомотетии $k$. Для этого рассмотрим пару соответственных точек, например, $A$ и $A_1$. По определению гомотетии с центром $M$: $\vec{MA_1} = k \cdot \vec{MA}$.

Это условие полностью совпадает с условием пункта 2) предыдущей задачи.

Векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ противоположно направлены, так как точка $M$ лежит между $A$ и $A_1$. Значит, коэффициент $k$ отрицателен.

Из свойства медиан $|AM| : |MA_1| = 2:1$, или $|AM| = 2|MA_1|$.

Модуль коэффициента равен $|k| = \frac{|MA_1|}{|AM|} = \frac{|MA_1|}{2|MA_1|} = \frac{1}{2}$.

Так как $k < 0$, получаем $k = -\frac{1}{2}$.

Аналогично можно проверить для других вершин, и результат будет тем же.

Ответ: центр гомотетии — точка $M$ (точка пересечения медиан), коэффициент гомотетии $k = -\frac{1}{2}$.

754. В треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $M$. Точки $K$, $F$ и $N$ – середины отрезков $AM$, $BM$ и $CM$ соответственно. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник $ABC$ является образом треугольника $KFN$.

Пусть искомая гомотетия имеет центр в точке $O$ и коэффициент $k$. По условию, треугольник $ABC$ является образом треугольника $KFN$. Это означает, что гомотетия переводит вершины треугольника $KFN$ в соответствующие вершины треугольника $ABC$: точка $K$ переходит в точку $A$, точка $F$ — в точку $B$, и точка $N$ — в точку $C$.

Согласно определению гомотетии, для этих пар точек должны выполняться следующие векторные равенства:

$\vec{OA} = k \cdot \vec{OK}$
$\vec{OB} = k \cdot \vec{OF}$
$\vec{OC} = k \cdot \vec{ON}$

Из первого равенства $\vec{OA} = k \cdot \vec{OK}$ следует, что точки $O$, $K$ и $A$ лежат на одной прямой. По условию задачи, точка $K$ является серединой отрезка $AM$. Это значит, что точки $A$, $K$ и $M$ также лежат на одной прямой — медиане $AA_1$. Следовательно, центр гомотетии $O$ должен принадлежать прямой $AM$.

Рассматривая два других равенства, приходим к аналогичным выводам. Из $\vec{OB} = k \cdot \vec{OF}$ и того, что $F$ — середина $BM$, следует, что центр $O$ должен лежать на прямой $BM$. Из $\vec{OC} = k \cdot \vec{ON}$ и того, что $N$ — середина $CM$, следует, что центр $O$ должен лежать на прямой $CM$.

Единственной точкой, принадлежащей всем трем медианам треугольника ($AM$, $BM$ и $CM$), является точка их пересечения $M$. Таким образом, центром искомой гомотетии является точка $M$.

Теперь, зная центр гомотетии, найдем ее коэффициент $k$. Подставим $O = M$ в первое векторное равенство:

$\vec{MA} = k \cdot \vec{MK}$

Так как $K$ — середина отрезка $AM$, то вектор $\vec{MK}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{MA}$, а его длина в два раза меньше длины вектора $\vec{MA}$. Это можно записать в виде $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{MA}$.

Выразим из последнего равенства вектор $\vec{MA}$:

$\vec{MA} = 2 \cdot \vec{MK}$

Сравнивая это равенство с равенством из определения гомотетии $\vec{MA} = k \cdot \vec{MK}$, приходим к выводу, что коэффициент $k = 2$.

Проверка для остальных пар точек дает тот же результат. Таким образом, треугольник $ABC$ является образом треугольника $KFN$ при гомотетии с центром в точке пересечения медиан $M$ и коэффициентом $k=2$.

Ответ: Центр гомотетии — точка пересечения медиан $M$, коэффициент гомотетии равен 2.

755. Найдите образы точек $A (-2; 1)$, $B (3; 0)$, $D (0; -6)$ при гомотетии с центром $O (0; 0)$ и коэффициентом:

1) $k = 2$;

2) $k = 3$;

3) $k = -\frac{1}{2}$;

4) $k = -\frac{1}{3}$.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку $P(x; y)$ в точку $P'(x'; y')$, где координаты новой точки вычисляются по формулам:

$x' = k \cdot x$

$y' = k \cdot y$

Применим эти формулы для заданных точек $A(-2; 1)$, $B(3; 0)$, $D(0; -6)$ и различных коэффициентов $k$.

1) k = 2

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = 2 \cdot (-2) = -4$

$y' = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, $A'(-4; 2)$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = 2 \cdot 3 = 6$

$y' = 2 \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(6; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = 2 \cdot 0 = 0$

$y' = 2 \cdot (-6) = -12$

Таким образом, $D'(0; -12)$.

Ответ: $A'(-4; 2)$, $B'(6; 0)$, $D'(0; -12)$.

2) k = 3

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = 3 \cdot (-2) = -6$

$y' = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, $A'(-6; 3)$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = 3 \cdot 3 = 9$

$y' = 3 \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(9; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = 3 \cdot 0 = 0$

$y' = 3 \cdot (-6) = -18$

Таким образом, $D'(0; -18)$.

Ответ: $A'(-6; 3)$, $B'(9; 0)$, $D'(0; -18)$.

3) k = $-\frac{1}{2}$

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1$

$y' = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

Таким образом, $A'(1; -\frac{1}{2})$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2}$

$y' = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(-\frac{3}{2}; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

$y' = -\frac{1}{2} \cdot (-6) = 3$

Таким образом, $D'(0; 3)$.

Ответ: $A'(1; -\frac{1}{2})$, $B'(-\frac{3}{2}; 0)$, $D'(0; 3)$.

4) k = $-\frac{1}{3}$

Для точки $A(-2; 1)$ образ $A'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{3} \cdot (-2) = \frac{2}{3}$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$

Таким образом, $A'(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$.

Для точки $B(3; 0)$ образ $B'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$

Таким образом, $B'(-1; 0)$.

Для точки $D(0; -6)$ образ $D'$ имеет координаты:

$x' = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$

$y' = -\frac{1}{3} \cdot (-6) = 2$

Таким образом, $D'(0; 2)$.

Ответ: $A'(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$, $B'(-1; 0)$, $D'(0; 2)$.

756. Точка $A_1 (-1; 2)$ – образ точки $A (-3; 6)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0; 0)$ и коэффициентом $k$ переводит точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(x_1; y_1)$ по формулам: $x_1 = kx$ и $y_1 = ky$.

По условию задачи, точка $A_1(-1; 2)$ является образом точки $A(-3; 6)$. Это означает, что $x = -3$, $y = 6$, $x_1 = -1$ и $y_1 = 2$.

Подставим координаты $x$ и $x_1$ в первую формулу, чтобы найти коэффициент $k$:
$-1 = k \cdot (-3)$
$k = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

Для проверки можно подставить координаты $y$ и $y_1$ во вторую формулу:
$2 = k \cdot 6$
$k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Так как значения коэффициента $k$, вычисленные по обеим координатам, совпадают, искомый коэффициент гомотетии равен $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

757. Площади двух подобных треугольников равны $28\text{ см}^2$ и $63\text{ см}^2$. Одна из сторон первого треугольника равна $8\text{ см}$. Найдите сторону второго треугольника, соответствующую данной стороне первого.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади двух подобных треугольников, а $a_1$ и $a_2$ — их соответственные (подобные) стороны.

Из условия задачи нам дано:
Площадь первого треугольника $S_1 = 28 \text{ см}^2$.
Площадь второго треугольника $S_2 = 63 \text{ см}^2$.
Сторона первого треугольника $a_1 = 8 \text{ см}$.

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ — это отношение длин соответственных сторон. Таким образом, можно записать следующую формулу:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_2}{a_1})^2 = k^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти квадрат коэффициента подобия:

$k^2 = \frac{S_2}{S_1} = \frac{63}{28}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 7:

$k^2 = \frac{63 \div 7}{28 \div 7} = \frac{9}{4}$

Теперь найдем коэффициент подобия $k$, извлекая квадратный корень:

$k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

Коэффициент подобия также равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{a_2}{a_1}$

Подставим известные значения $k$ и $a_1$, чтобы найти сторону $a_2$:

$\frac{3}{2} = \frac{a_2}{8}$

Выразим $a_2$:

$a_2 = \frac{3}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}$.

Ответ: 12 см.