Страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой из отрезков, изображённых на рисунке 250, может быть образом отрезка $AB$ при движении?

А) $MN$

Б) $PQ$

В) $EF$

Г) $DC$

Рис. 250

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Следовательно, образом отрезка при движении является отрезок, равный данному. Чтобы найти, какой из предложенных отрезков может быть образом отрезка $AB$, необходимо вычислить их длины и сравнить с длиной $AB$.

Примем сторону одной клетки за единицу. Длину отрезка на координатной плоскости можно найти по теореме Пифагора, как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами, равными проекциям отрезка на оси.

Сначала найдем длину исходного отрезка $AB$. Его проекция на горизонтальную ось составляет 2 клетки, а на вертикальную — 1 клетку. Длина $AB$ равна: $L_{AB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь последовательно найдем длины остальных отрезков и сравним их с $L_{AB}$.

А) MN. Проекция отрезка $MN$ на горизонтальную ось равна 3, на вертикальную — 0. Длина $MN$ равна: $L_{MN} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$. Поскольку $3 \neq \sqrt{5}$, этот вариант не подходит.

Б) PQ. Проекция отрезка $PQ$ на горизонтальную ось равна 1, на вертикальную — 2. Длина $PQ$ равна: $L_{PQ} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. Поскольку $L_{PQ} = L_{AB}$, этот вариант является верным.

В) EF. Проекция отрезка $EF$ на горизонтальную ось равна 0, на вертикальную — 2. Длина $EF$ равна: $L_{EF} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$. Поскольку $2 \neq \sqrt{5}$, этот вариант не подходит.

Г) DC. Проекция отрезка $DC$ на горизонтальную ось равна 2, на вертикальную — 3. Длина $DC$ равна: $L_{DC} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$. Поскольку $\sqrt{13} \neq \sqrt{5}$, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственный отрезок, длина которого равна длине отрезка $AB$, — это отрезок $PQ$.

Ответ: Б) PQ

2. Укажите уравнение образа прямой $y=2x$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (0; 1)$.

А) $y=2x+1$

Б) $y=2x-1$

В) $y=x+1$

Г) $y=x-1$

Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка $(x; y)$ фигуры смещается на один и тот же вектор $\vec{a}(a_x; a_y)$ в новую точку $(x'; y')$. Координаты новой точки находятся по формулам:

$x' = x + a_x$

$y' = y + a_y$

В данном случае нам нужно выполнить параллельный перенос прямой $y = 2x$ на вектор $\vec{a}(0; 1)$. Здесь $a_x = 0$ и $a_y = 1$.

Формулы преобразования координат для любой точки на прямой будут выглядеть так:

$x' = x + 0 \implies x' = x$

$y' = y + 1$

Чтобы найти уравнение новой прямой (образа), нам нужно выразить исходные координаты $(x; y)$ через новые $(x'; y')$ и подставить их в уравнение исходной прямой.

Из формул переноса получаем:

$x = x'$

$y = y' - 1$

Теперь подставляем эти выражения в исходное уравнение $y = 2x$:

$(y' - 1) = 2(x')$

Далее, преобразуем полученное уравнение к стандартному виду $y = kx + b$, выразив $y'$:

$y' = 2x' + 1$

Отбросив штрихи, которые использовались для обозначения новых координат, мы получаем уравнение образа прямой: $y = 2x + 1$.

Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует варианту А).

Ответ: А) $y = 2x + 1$

3. Какая из прямых, изображённых на рисунке 251, может быть образом прямой $a$ при параллельном переносе?

А) $b$ Б) $c$ В) $d$ Г) $a$

Рис. 250

Рис. 251

Согласно определению, параллельный перенос — это геометрическое преобразование, при котором образом прямой является прямая, параллельная исходной. Если прямая $l'$ является образом прямой $l$ при параллельном переносе, то должно выполняться условие $l' \parallel l$.

В данной задаче исходной является прямая a. Нам нужно найти ее образ среди предложенных вариантов: b, c, d или a.

Проанализируем прямые, изображенные на рисунке 251:

Прямая b пересекает прямую a, следовательно, не параллельна ей. Значит, b не может быть образом прямой a.

Прямая c также пересекает прямую a, следовательно, не параллельна ей и не может быть ее образом.

Прямая d перпендикулярна прямой a, то есть пересекает ее. Значит, прямая d также не параллельна прямой a и не может быть ее образом.

Рассмотрим вариант Г), где образом прямой a является сама прямая a. Это возможно, если вектор параллельного переноса $\vec{v}$ параллелен прямой a. В этом случае каждая точка прямой a перемещается в другую точку, также лежащую на прямой a, и в результате вся прямая отображается сама на себя. Частным случаем является перенос на нулевой вектор ($\vec{v} = \vec{0}$), при котором все точки остаются на месте.

Поскольку по определению любая прямая считается параллельной самой себе, этот случай удовлетворяет основному свойству параллельного переноса.

Ответ: Г) a

4. Какая из указанных фигур имеет только одну ось симметрии?

А) квадрат

В) парабола

Б) окружность

Г) отрезок

Для того чтобы определить, какая из фигур имеет только одну ось симметрии, необходимо рассмотреть каждую фигуру по отдельности и найти все её оси симметрии. Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части.

А) квадрат
Квадрат является правильным четырехугольником. У него есть четыре оси симметрии:
- две оси проходят через середины противоположных сторон;
- две оси проходят через противоположные вершины (диагонали).
Таким образом, у квадрата 4 оси симметрии.

Б) окружность
Окружность обладает центральной симметрией, и любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Так как через центр можно провести бесконечное количество прямых, у окружности бесконечно много осей симметрии.

В) парабола
Парабола — это график квадратичной функции, например, $y = ax^2 + bx + c$. У параболы есть только одна ось симметрии. Эта ось проходит вертикально через вершину параболы. Для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, уравнение оси симметрии имеет вид $x = - \frac{b}{2a}$. Эта прямая делит параболу на две симметричные ветви.

Г) отрезок
Отрезок имеет две оси симметрии:
- прямая, на которой лежит сам отрезок;
- серединный перпендикуляр к отрезку (прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину).
Таким образом, у отрезка 2 оси симметрии.

Сравнив количество осей симметрии у всех перечисленных фигур, можно сделать вывод, что только парабола имеет ровно одну ось симметрии.
Ответ: В) парабола

5. При каких значениях $x$ и $y$ точки $A(-1; y)$ и $B(x; 6)$ симметричны относительно оси абсцисс?

А) $x = -1, y = 6$

В) $x = -1, y = -6$

Б) $x = 1, y = -6$

Г) $x = 1, y = 6$

Две точки являются симметричными относительно оси абсцисс (оси Ox), если их абсциссы (координаты $x$) равны, а их ординаты (координаты $y$) являются противоположными числами.

То есть, для двух симметричных точек $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$ должны выполняться следующие условия:
$x_1 = x_2$
$y_1 = -y_2$

В данной задаче нам даны точки $A(-1; y)$ и $B(x; 6)$.
Сопоставим их координаты с условиями симметрии:

1. Равенство абсцисс:
Координата $x$ точки $A$ равна $-1$. Координата $x$ точки $B$ равна $x$.
Следовательно, должно выполняться равенство:
$x = -1$

2. Противоположность ординат:
Координата $y$ точки $A$ равна $y$. Координата $y$ точки $B$ равна $6$.
Следовательно, должно выполняться равенство:
$y = -6$

Таким образом, для того чтобы точки A и B были симметричны относительно оси абсцисс, необходимо, чтобы $x = -1$ и $y = -6$. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) $x=-1, y=-6$

6. Какая из указанных фигур имеет центр симметрии?

А) треугольник

Б) отрезок

В) трапеция

Г) угол

Центр симметрии фигуры — это такая точка, относительно которой фигура симметрична. Это означает, что для любой точки фигуры, точка, симметричная ей относительно центра симметрии, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, поворот фигуры на $180^\circ$ вокруг ее центра симметрии отображает фигуру на саму себя. Проанализируем каждую из предложенных фигур.

А) треугольник

Треугольник в общем виде не имеет центра симметрии. Ни одна точка внутри или вне треугольника не обладает свойством, при котором поворот на $180^\circ$ вокруг нее совместит треугольник с самим собой. Даже правильный (равносторонний) треугольник не имеет центра симметрии, хотя у него есть центр вращения (точка пересечения медиан), но симметрия проявляется при поворотах на $120^\circ$ и $240^\circ$. Таким образом, этот вариант не подходит.

Б) отрезок

Отрезок имеет центр симметрии. Этим центром является его середина. Если мы возьмем любую точку на отрезке и повернем ее на $180^\circ$ вокруг середины отрезка, она перейдет в другую точку, также лежащую на этом отрезке. Концы отрезка при таком повороте меняются местами. Следовательно, отрезок имеет центр симметрии.

В) трапеция

Трапеция в общем случае не имеет центра симметрии. Исключением является параллелограмм, который является частным случаем трапеции, и его центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей. Однако произвольная трапеция, например, равнобокая, не имеет центра симметрии, а только ось симметрии. Поскольку вопрос задан о фигуре в общем виде, этот вариант не является правильным.

Г) угол

Угол, который представляет собой фигуру, состоящую из точки (вершины) и двух выходящих из нее лучей, не имеет центра симметрии. Не существует точки, поворот вокруг которой на $180^\circ$ перевел бы оба луча угла в самих себя. Угол имеет ось симметрии — его биссектрису, но не центр симметрии.

Таким образом, из всех перечисленных фигур только отрезок всегда имеет центр симметрии.

Ответ: Б) отрезок.

7. Какая из указанных фигур имеет центр симметрии и ось симметрии?

А) равносторонний треугольник

Б) параллелограмм

В) равнобокая трапеция

Г) прямая

Для ответа на вопрос необходимо проанализировать каждую из предложенных фигур на наличие как центра симметрии, так и оси симметрии.

Центр симметрии — это точка, при повороте вокруг которой на $180^\circ$ фигура переходит сама в себя.

Ось симметрии — это прямая, при зеркальном отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

А) равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии — это прямые, содержащие его высоты (они же медианы и биссектрисы). Однако центр симметрии у него отсутствует. Точка пересечения медиан является центром поворота на $120^\circ$ и $240^\circ$, но поворот на $180^\circ$ не совмещает треугольник с самим собой. Следовательно, этот вариант не подходит.

Б) параллелограмм

Параллелограмм имеет центр симметрии — точку пересечения его диагоналей. Поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки отображает параллелограмм на себя. Однако, в общем случае, у параллелограмма нет осей симметрии. Оси симметрии появляются только у его частных видов: прямоугольника и ромба. Так как речь идет о произвольном параллелограмме, этот вариант не подходит.

В) равнобокая трапеция

Равнобокая трапеция имеет одну ось симметрии — прямую, проходящую через середины оснований. Однако у равнобокой трапеции (если она не является прямоугольником) нет центра симметрии. Следовательно, этот вариант не подходит.

Г) прямая

Прямая линия обладает обоими видами симметрии.
Центр симметрии: любая точка на прямой является ее центром симметрии. Поворот на $180^\circ$ вокруг любой точки на прямой переводит прямую в себя.
Ось симметрии: прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Сама прямая является осью симметрии, и любая прямая, перпендикулярная ей, также является ее осью симметрии.
Следовательно, этот вариант подходит, так как прямая имеет и центр, и ось симметрии.

Таким образом, единственная фигура из предложенных, которая гарантированно имеет и центр симметрии, и ось симметрии, — это прямая.

Ответ: Г