Страница 194 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. При каких значениях $x$ и $y$ точки $A (x, 7)$ и $B (-4; y)$ симметричны относительно начала координат?

А) $x = 4$, $y = -7$

В) $x = -4$, $y = 7$

Б) $x = 4$, $y = 7$

Г) $x = -4$, $y = -7$

Две точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ называются симметричными относительно начала координат, если их соответствующие координаты являются противоположными числами. Это означает, что начало координат $(0;0)$ является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Математически это выражается следующими равенствами:

$x_A = -x_B$

$y_A = -y_B$

В нашей задаче даны точки $A(x; 7)$ и $B(-4; y)$.

Координаты точки A: $x_A = x$, $y_A = 7$.

Координаты точки B: $x_B = -4$, $y_B = y$.

Подставим эти значения в условия симметрии:

1. Для координаты $x$:

$x_A = -x_B \Rightarrow x = -(-4)$

$x = 4$

2. Для координаты $y$:

$y_A = -y_B \Rightarrow 7 = -y$

$y = -7$

Таким образом, для того чтобы точки A и B были симметричны относительно начала координат, необходимо, чтобы $x=4$ и $y=-7$.

Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: А) $x = 4, y = -7$.

9. Точка $O$ — центр правильного восьмиугольника $ABCDEFKM$ (рис. 252). Укажите образ стороны $EF$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $135^\circ$.

А) $AB$

Б) $BC$

В) $AM$

Г) $CD$

Рис. 252

Поскольку ABCDEFKМ — это правильный восьмиугольник, то все его вершины расположены на одинаковом расстоянии от центра O. Углы между отрезками, соединяющими центр с соседними вершинами, равны.

Полный угол вокруг центра O составляет $360°$. Восьмиугольник имеет 8 вершин, поэтому центральный угол, соответствующий каждой стороне (например, $∠EOF$), равен:

$α = \frac{360°}{8} = 45°$

Это означает, что поворот на $45°$ вокруг центра O переводит любую вершину в соседнюю. Поворот по часовой стрелке на $45°$ переведет вершину E в D, D в C и так далее.

Требуется найти образ стороны EF при повороте по часовой стрелке на угол $135°$. Для этого определим, на сколько вершин сместится каждая точка:

$n = \frac{135°}{45°} = 3$

Следовательно, каждая вершина восьмиугольника при данном повороте сместится на 3 позиции по часовой стрелке.

Найдем образ конечных точек стороны EF:

• Найдем образ точки E. Двигаясь по часовой стрелке от E на 3 вершины, получаем: E → D → C → B. Таким образом, точка E переходит в точку B.
• Найдем образ точки F. Двигаясь по часовой стрелке от F на 3 вершины, получаем: F → E → D → C. Таким образом, точка F переходит в точку C.

Так как точка E переходит в B, а точка F переходит в C, то отрезок EF (сторона EF) переходит в отрезок BC (сторону BC).

Ответ: Б) BC

10. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ (рис. 253) пересекаются в точке $M$. Укажите коэффициент гомотетии с центром в точке $M$, при которой отрезок $BC$ является образом отрезка $AD$, если $AB : BM = 7 : 2$.

А) $ \frac{2}{7} $

Б) $ \frac{7}{2} $

В) $ \frac{2}{9} $

Г) $ \frac{9}{2} $

Рис. 252

Рис. 253

По условию, отрезок $BC$ является образом отрезка $AD$ при гомотетии с центром в точке $M$. Это означает, что точка $B$ является образом точки $A$, а точка $C$ — образом точки $D$.

Коэффициент гомотетии $k$ по определению равен отношению расстояния от центра гомотетии до точки-образа к расстоянию от центра гомотетии до исходной точки (прообраза). Следовательно, коэффициент гомотетии можно найти как отношение длин соответствующих отрезков:

$k = \frac{MB}{MA}$

Из условия известно соотношение $AB : BM = 7 : 2$. Это означает, что мы можем представить длины этих отрезков как $AB = 7x$ и $BM = 2x$ для некоторого положительного числа $x$.

Поскольку точка $M$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон, точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой, причем точка $B$ находится между $A$ и $M$. Тогда длина отрезка $MA$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BM$:

$MA = AB + BM = 7x + 2x = 9x$

Теперь мы можем вычислить коэффициент гомотетии $k$, подставив найденные значения в формулу:

$k = \frac{MB}{MA} = \frac{2x}{9x} = \frac{2}{9}$

Таким образом, коэффициент гомотетии равен $\frac{2}{9}$, что соответствует варианту В).

Ответ: $\frac{2}{9}$

11. Точка $M (6; -3)$ – образ точки $N (2; 1)$ при гомотетии с коэффициентом $ - \frac{1}{3} $. Укажите координаты центра гомотетии.

А) $(5; -2)$

Б) $(8; -1)$

В) $(-5; 2)$

Г) $(-8; 1)$

Пусть C(x; y) – искомый центр гомотетии. По определению гомотетии, если точка $M(x_M; y_M)$ является образом точки $N(x_N; y_N)$ при гомотетии с центром C(x; y) и коэффициентом k, то выполняется векторное равенство $ \vec{CM} = k \cdot \vec{CN} $.

В координатной форме это равенство записывается в виде системы уравнений:
$ \begin{cases} x_M - x = k(x_N - x) \\ y_M - y = k(y_N - y) \end{cases} $

Подставим в систему известные значения: координаты точки $N(2; 1)$, координаты точки $M(6; -3)$ и коэффициент гомотетии $k = -\frac{1}{3}$.
Получаем систему:$ \begin{cases} 6 - x = -\frac{1}{3}(2 - x) \\ -3 - y = -\frac{1}{3}(1 - y) \end{cases} $

Решим первое уравнение относительно x:
$ 6 - x = -\frac{1}{3}(2 - x) $
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
$ 3(6 - x) = -(2 - x) $
$ 18 - 3x = -2 + x $
$ 18 + 2 = x + 3x $
$ 20 = 4x $
$ x = \frac{20}{4} = 5 $

Теперь решим второе уравнение относительно y:
$ -3 - y = -\frac{1}{3}(1 - y) $
Умножим обе части уравнения на 3:
$ 3(-3 - y) = -(1 - y) $
$ -9 - 3y = -1 + y $
$ -9 + 1 = y + 3y $
$ -8 = 4y $
$ y = \frac{-8}{4} = -2 $

Таким образом, координаты центра гомотетии – C(5; -2).

Ответ: А) (5; -2)

12. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AC$ в точке $E$, а сторону $BC$ — в точке $F$. Чему равна площадь треугольника $CEF$, если $AE : EC = 3 : 2$, а площадь треугольника $ABC$ равна $75 \text{ см}^2$?

А) $36 \text{ см}^2$

Б) $50 \text{ см}^2$

В) $30 \text{ см}^2$

Г) $12 \text{ см}^2$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CEF$. Поскольку прямая $EF$ параллельна стороне $AB$ ($EF \parallel AB$), то треугольник $CEF$ подобен треугольнику $ABC$. Подобие следует из равенства углов:
1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол $\angle CEF$ равен углу $\angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.
Таким образом, $\triangle CEF \sim \triangle ABC$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон. В нашем случае: $$ \frac{S_{CEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{CE}{AC}\right)^2 $$

Найдем отношение сторон $CE$ к $AC$. По условию задачи $AE : EC = 3 : 2$. Это значит, что мы можем представить длины отрезков как $AE = 3x$ и $EC = 2x$ для некоторого коэффициента $x$. Тогда длина всей стороны $AC$ будет равна их сумме: $$ AC = AE + EC = 3x + 2x = 5x $$ Теперь можем найти коэффициент подобия $k$: $$ k = \frac{CE}{AC} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $$

Зная коэффициент подобия и площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC} = 75 \text{ см}^2$), найдем площадь треугольника $CEF$: $$ \frac{S_{CEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} $$ Отсюда выразим $S_{CEF}$: $$ S_{CEF} = S_{ABC} \cdot \frac{4}{25} = 75 \cdot \frac{4}{25} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2 $$

Ответ: 12 см².