Номер 12, страница 194 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AC$ в точке $E$, а сторону $BC$ — в точке $F$. Чему равна площадь треугольника $CEF$, если $AE : EC = 3 : 2$, а площадь треугольника $ABC$ равна $75 \text{ см}^2$?

А) $36 \text{ см}^2$

Б) $50 \text{ см}^2$

В) $30 \text{ см}^2$

Г) $12 \text{ см}^2$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CEF$. Поскольку прямая $EF$ параллельна стороне $AB$ ($EF \parallel AB$), то треугольник $CEF$ подобен треугольнику $ABC$. Подобие следует из равенства углов:
1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол $\angle CEF$ равен углу $\angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.
Таким образом, $\triangle CEF \sim \triangle ABC$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон. В нашем случае: $$ \frac{S_{CEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{CE}{AC}\right)^2 $$

Найдем отношение сторон $CE$ к $AC$. По условию задачи $AE : EC = 3 : 2$. Это значит, что мы можем представить длины отрезков как $AE = 3x$ и $EC = 2x$ для некоторого коэффициента $x$. Тогда длина всей стороны $AC$ будет равна их сумме: $$ AC = AE + EC = 3x + 2x = 5x $$ Теперь можем найти коэффициент подобия $k$: $$ k = \frac{CE}{AC} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $$

Зная коэффициент подобия и площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC} = 75 \text{ см}^2$), найдем площадь треугольника $CEF$: $$ \frac{S_{CEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} $$ Отсюда выразим $S_{CEF}$: $$ S_{CEF} = S_{ABC} \cdot \frac{4}{25} = 75 \cdot \frac{4}{25} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2 $$

Ответ: 12 см².