Номер 10, страница 194 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ (рис. 253) пересекаются в точке $M$. Укажите коэффициент гомотетии с центром в точке $M$, при которой отрезок $BC$ является образом отрезка $AD$, если $AB : BM = 7 : 2$.

А) $ \frac{2}{7} $

Б) $ \frac{7}{2} $

В) $ \frac{2}{9} $

Г) $ \frac{9}{2} $

Рис. 252

Рис. 253

По условию, отрезок $BC$ является образом отрезка $AD$ при гомотетии с центром в точке $M$. Это означает, что точка $B$ является образом точки $A$, а точка $C$ — образом точки $D$.

Коэффициент гомотетии $k$ по определению равен отношению расстояния от центра гомотетии до точки-образа к расстоянию от центра гомотетии до исходной точки (прообраза). Следовательно, коэффициент гомотетии можно найти как отношение длин соответствующих отрезков:

$k = \frac{MB}{MA}$

Из условия известно соотношение $AB : BM = 7 : 2$. Это означает, что мы можем представить длины этих отрезков как $AB = 7x$ и $BM = 2x$ для некоторого положительного числа $x$.

Поскольку точка $M$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон, точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой, причем точка $B$ находится между $A$ и $M$. Тогда длина отрезка $MA$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BM$:

$MA = AB + BM = 7x + 2x = 9x$

Теперь мы можем вычислить коэффициент гомотетии $k$, подставив найденные значения в формулу:

$k = \frac{MB}{MA} = \frac{2x}{9x} = \frac{2}{9}$

Таким образом, коэффициент гомотетии равен $\frac{2}{9}$, что соответствует варианту В).

Ответ: $\frac{2}{9}$