Страница 201 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Из каких фигур состоит поверхность многогранника?

Поверхность многогранника — это замкнутая поверхность, которая ограничивает некоторое тело в пространстве. Эта поверхность составлена из конечного числа плоских многоугольников.

Эти многоугольники называются гранями многогранника. Стороны граней называются ребрами, а вершины граней — вершинами многогранника.

Например:

• Поверхность куба состоит из 6 граней, каждая из которых является квадратом.
• Поверхность правильного тетраэдра состоит из 4 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.
• Поверхность треугольной призмы состоит из 2 треугольных оснований и 3 боковых граней, которые являются параллелограммами (в случае прямой призмы — прямоугольниками).

Таким образом, любая фигура, из которой состоит поверхность многогранника, является многоугольником.

Ответ: Поверхность многогранника состоит из многоугольников.

2. Перечислите элементы многогранника.

Многогранник — это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Основными элементами, из которых состоит любой многогранник, являются грани, рёбра и вершины.

Грани

Это плоские многоугольники, которые образуют поверхность многогранника. Каждая грань является частью плоскости. Две грани, имеющие общее ребро, называются смежными. Например, у куба 6 квадратных граней.

Ответ: Грани — это многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника.

Рёбра

Это отрезки, которые являются сторонами граней и линиями их пересечения. Каждое ребро принадлежит одновременно двум смежным граням и соединяет две вершины. Например, у куба 12 рёбер.

Ответ: Рёбра — это отрезки, по которым пересекаются смежные грани многогранника.

Вершины

Это точки, в которых сходятся рёбра многогранника. Каждая вершина является общей точкой для нескольких рёбер и граней. Например, у куба 8 вершин.

Ответ: Вершины — это точки, в которых сходятся рёбра многогранника.

Кроме основных элементов, также можно выделить диагонали многогранника (отрезки, соединяющие две вершины, не принадлежащие одной грани) и двугранные углы (углы между смежными гранями).

Число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) любого выпуклого многогранника связано между собой соотношением, известным как формула Эйлера:

$$ В - Р + Г = 2 $$

Эта формула является важной топологической характеристикой. Проверим её на примере куба, у которого В=8, Р=12, Г=6:

$$ 8 - 12 + 6 = 2 $$

$$ 2 = 2 $$

Соотношение выполняется.

3. Какой геометрической фигурой является боковая грань призмы?

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) соединяют соответствующие стороны оснований.

По определению, боковые грани призмы являются четырехугольниками. Две противоположные стороны каждой боковой грани — это соответствующие стороны верхнего и нижнего оснований. Так как основания лежат в параллельных плоскостях и равны, то эти стороны параллельны и равны. Две другие противоположные стороны боковой грани — это боковые ребра призмы, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Все боковые ребра призмы параллельны и равны друг другу.

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Поскольку у боковой грани призмы противоположные стороны (ребра оснований и боковые ребра) параллельны, то каждая боковая грань призмы является параллелограммом.

Существуют частные случаи:

• У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В этом случае все боковые грани являются прямоугольниками (частный случай параллелограмма).
• У наклонной призмы боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. Ее боковые грани — это параллелограммы, которые в общем случае не являются прямоугольниками.

Следовательно, в общем случае боковой гранью призмы является параллелограмм.

Ответ: Параллелограмм.

4. Каково взаимное расположение боковых рёбер призмы?

4. Чтобы определить взаимное расположение боковых рёбер призмы, необходимо рассмотреть определение и свойства этого многогранника. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а все боковые грани являются параллелограммами. Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований.

Поскольку основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях, одно основание можно получить из другого путём параллельного переноса. Все боковые рёбра призмы соединяют соответствующие вершины оснований, а значит, они все соответствуют одному и тому же вектору параллельного переноса, скажем $ \vec{a} $.

Из этого следуют два основных вывода о взаимном расположении боковых рёбер:

1. Параллельность: Так как все боковые рёбра являются векторами, коллинеарными вектору параллельного переноса $ \vec{a} $ (фактически, они все равны ему), они параллельны друг другу.

2. Равенство длин: Длина каждого бокового ребра равна длине (модулю) вектора параллельного переноса $ |\vec{a}| $. Следовательно, все боковые рёбра призмы равны по длине.

Эти свойства верны для любой призмы, как для прямой (когда боковые рёбра перпендикулярны основаниям), так и для наклонной.

Ответ: Все боковые рёбра призмы параллельны друг другу и равны по длине.

5. Какой геометрической фигурой является боковая грань прямой призмы?

По определению, прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям её оснований. Рассмотрим боковую грань такой призмы. Каждая боковая грань является четырёхугольником. Две противоположные стороны этого четырёхугольника являются соответствующими сторонами оснований призмы. Поскольку основания прямой призмы — это равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, эти две стороны равны и параллельны. Две другие противоположные стороны грани — это боковые рёбра призмы. По определению прямой призмы, эти рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а значит, они перпендикулярны и сторонам оснований, которые они соединяют. Следовательно, все углы боковой грани являются прямыми ($90^\circ$). Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник.

6. Что такое площадь боковой поверхности призмы?

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей всех её боковых граней. Призма представляет собой многогранник, у которого две грани (называемые основаниями) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (называемые боковыми) — параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.

Для прямой призмы

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Её боковые грани являются прямоугольниками. Площадь боковой поверхности прямой призмы можно найти по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

где:
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности,
$P_{осн}$ — периметр основания призмы (сумма длин всех сторон многоугольника в основании),
$h$ — высота призмы (которая у прямой призмы равна длине бокового ребра).

Эта формула получается, если мысленно "развернуть" боковую поверхность призмы в один большой прямоугольник. Длина этого прямоугольника будет равна периметру основания, а ширина — высоте призмы.

Для наклонной призмы

Наклонная призма — это призма, у которой боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Её боковые грани — параллелограммы. Для нахождения площади её боковой поверхности используется более общая формула:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

где:
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности,
$P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения (сечения призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам),
$l$ — длина бокового ребра.

Ответ: Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех её боковых граней. Для прямой призмы она равна произведению периметра основания на высоту призмы, а для наклонной — произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.