Страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

800. Вычислите объём пирамиды MABCD (рис. 272), основание которой — квадрат ABCD со стороной 6 см, ME — высота пирамиды, $ME = 7{,}2 \text{ см}$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$

где $V$ – объём пирамиды, $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания. Основанием пирамиды является квадрат $ABCD$ со стороной $6$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата.

$S_{осн} = 6^2 = 36$ см².

2. Высота пирамиды дана по условию: $h = ME = 7,2$ см.

3. Подставим значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды и вычислим его:

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 7,2 = 12 \cdot 7,2 = 86,4$ см³.

Ответ: 86,4 см³.

801. Вычислите объём пирамиды $AMNKP$ (рис. 273), основание которой – прямоугольник $MNKP$, $MN = 1,2 \text{ см}$, $NK = 2,6 \text{ см}$, $AD$ – высота пирамиды, $AD = 2,5 \text{ см}$.

Рис. 272

Рис. 273

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В данной задаче основанием пирамиды $AMNKP$ является прямоугольник $MNKP$. Площадь прямоугольника находится как произведение длин его смежных сторон.

По условию, стороны прямоугольника $MN = 1,2$ см и $NK = 2,6$ см. Вычислим площадь основания:

$S_{осн} = S_{MNKP} = MN \cdot NK = 1,2 \text{ см} \cdot 2,6 \text{ см} = 3,12 \text{ см}^2$.

Высота пирамиды дана в условии: $h = AD = 2,5$ см.

Теперь подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3,12 \text{ см}^2 \cdot 2,5 \text{ см}$.

Выполним вычисления:

$V = \frac{1}{3} \cdot (3,12 \cdot 2,5) = \frac{1}{3} \cdot 7,8 = 2,6 \text{ см}^3$.

Ответ: $2,6 \text{ см}^3$.

802. Поперечное сечение чугунной трубы имеет форму квадрата. Внешняя ширина трубы равна 30 см, а толщина стенок – 5 см. Найдите массу погонного метра трубы, если плотность чугуна составляет $7,3 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Для нахождения массы погонного метра трубы необходимо вычислить объем материала, который составляет один метр трубы, а затем умножить этот объем на плотность чугуна. Масса $m$ вычисляется по формуле:

$m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность, а $V$ — объем.

Объем погонного метра трубы ($L=1$ м) равен произведению площади поперечного сечения материала $S$ на длину $L$. Площадь поперечного сечения $S$ представляет собой разность между площадью внешнего квадрата ($S_{внеш}$) и площадью внутреннего квадратного отверстия ($S_{внутр}$).

$V = S \cdot L = (S_{внеш} - S_{внутр}) \cdot L$

Для проведения расчетов переведем все размеры в систему СИ (метры):

• Внешняя ширина трубы: $a_{внеш} = 30$ см $= 0,3$ м.
• Толщина стенок: $t = 5$ см $= 0,05$ м.
• Длина трубы: $L = 1$ м.

Сначала вычислим площадь внешнего квадрата:

$S_{внеш} = a_{внеш}^2 = (0,3 \text{ м})^2 = 0,09 \text{ м}^2$.

Далее найдем сторону внутреннего квадрата $a_{внутр}$. Она равна стороне внешнего квадрата за вычетом удвоенной толщины стенки:

$a_{внутр} = a_{внеш} - 2t = 0,3 \text{ м} - 2 \cdot 0,05 \text{ м} = 0,3 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 0,2 \text{ м}$.

Теперь вычислим площадь внутреннего квадрата:

$S_{внутр} = a_{внутр}^2 = (0,2 \text{ м})^2 = 0,04 \text{ м}^2$.

Найдем площадь поперечного сечения самого материала трубы:

$S = S_{внеш} - S_{внутр} = 0,09 \text{ м}^2 - 0,04 \text{ м}^2 = 0,05 \text{ м}^2$.

Теперь можем найти объем чугуна в одном погонном метре трубы:

$V = S \cdot L = 0,05 \text{ м}^2 \cdot 1 \text{ м} = 0,05 \text{ м}^3$.

Наконец, вычислим массу, используя данную плотность чугуна $\rho = 7,3 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 = 7300 \text{ кг/м}^3$:

$m = \rho \cdot V = 7300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,05 \text{ м}^3 = 365$ кг.

Ответ: 365 кг.

803. Поперечное сечение канавы имеет форму равнобокой трапеции, основания которой равны 1 м и 0,8 м, а высота – 0,6 м. Сколько понадобится рабочих, чтобы за 4 ч выкопать такую канаву длиной 15 м, если за час один рабочий выкапывает $0,75 \text{ м}^3$ грунта?

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала рассчитать общий объем грунта, который нужно выкопать, а затем определить, сколько рабочих потребуется для выполнения этой работы за указанное время.

1. Вычисление объема канавы

Канава представляет собой прямую призму, в основании которой лежит равнобокая трапеция. Объем такой фигуры равен произведению площади основания на ее длину.

Сначала найдем площадь поперечного сечения канавы (площадь трапеции) по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

Подставим значения из условия: $a = 1$ м, $b = 0.8$ м, $h = 0.6$ м.

$S = \frac{1 + 0.8}{2} \cdot 0.6 = \frac{1.8}{2} \cdot 0.6 = 0.9 \cdot 0.6 = 0.54 \text{ м}^2$.

Теперь, зная площадь сечения и длину канавы $L = 15$ м, найдем ее объем:

$V = S \cdot L = 0.54 \text{ м}^2 \cdot 15 \text{ м} = 8.1 \text{ м}^3$.

Таким образом, общий объем грунта, который необходимо выкопать, составляет 8,1 м³.

2. Расчет необходимого количества рабочих

По условию, один рабочий за час выкапывает $0.75 \text{ м}^3$ грунта. Работа должна быть выполнена за 4 часа. Рассчитаем, какой объем грунта может выкопать один рабочий за все время:

$V_{раб} = 0.75 \frac{\text{м}^3}{\text{ч}} \cdot 4 \text{ ч} = 3 \text{ м}^3$.

Чтобы найти необходимое количество рабочих ($N$), нужно общий объем работы разделить на объем, который выполняет один рабочий за 4 часа:

$N = \frac{V}{V_{раб}} = \frac{8.1 \text{ м}^3}{3 \text{ м}^3} = 2.7$.

Так как количество рабочих должно быть целым числом, а двух рабочих будет недостаточно (они выкопают только $2 \cdot 3 = 6 \text{ м}^3$), необходимо округлить полученное значение в большую сторону. Следовательно, для выполнения работы в срок потребуется 3 рабочих.

Ответ: 3.

804. Слиток меди длиной 50 см имеет форму прямой призмы, основанием которой является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 6 см и 14 см, а боковая сторона – 8,5 см. Установите, есть ли внутри слитка пустоты или он является сплошным, если масса слитка равна 32 кг, а плотность меди – $9,0 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Чтобы определить, есть ли внутри слитка пустоты, необходимо сравнить его геометрический объем, вычисленный по заданным размерам, с фактическим объемом меди, который можно найти, зная массу слитка и плотность материала.

Вычисление геометрического объема слитка

Слиток имеет форму прямой призмы, объем которой ($V_{геом}$) равен произведению площади ее основания ($S_{осн}$) на высоту призмы ($H$), которая в данном случае является длиной слитка.

$V_{геом} = S_{осн} \cdot H$

Основанием призмы является равнобокая трапеция. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — параллельные стороны (основания) трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи имеем: $a = 14$ см, $b = 6$ см, боковая сторона $c = 8,5$ см, длина слитка $H = 50$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. В равнобокой трапеции высота, боковая сторона и отрезок большего основания, равный полуразности оснований, образуют прямоугольный треугольник. Найдем этот отрезок:

$\frac{a-b}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{8,5^2 - 4^2} = \sqrt{72,25 - 16} = \sqrt{56,25} = 7,5$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания трапеции:

$S_{осн} = \frac{14 + 6}{2} \cdot 7,5 = \frac{20}{2} \cdot 7,5 = 10 \cdot 7,5 = 75$ см².

Наконец, вычислим геометрический объем слитка:

$V_{геом} = S_{осн} \cdot H = 75 \text{ см}^2 \cdot 50 \text{ см} = 3750$ см³.

Вычисление фактического объема меди в слитке

Фактический объем меди ($V_{факт}$) можно найти по формуле, связывающей массу ($m$), плотность ($\rho$) и объем:

$V_{факт} = \frac{m}{\rho}$

Для удобства расчетов приведем данные к единой системе измерений, например, СГС (сантиметр, грамм, секунда).

Масса слитка: $m = 32$ кг = $32000$ г.

Плотность меди: $\rho = 9,0 \cdot 10^3$ кг/м³.

Переведем плотность в г/см³:

$\rho = 9,0 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 9000 \frac{1000 \text{ г}}{(100 \text{ см})^3} = 9000 \frac{1000 \text{ г}}{1000000 \text{ см}^3} = 9,0$ г/см³.

Теперь вычислим фактический объем меди:

$V_{факт} = \frac{m}{\rho} = \frac{32000 \text{ г}}{9,0 \text{ г/см}^3} \approx 3555,56$ см³.

Сравнение объемов и вывод

Сравним вычисленные объемы:

Геометрический объем слитка: $V_{геом} = 3750$ см³.

Фактический объем меди: $V_{факт} \approx 3555,56$ см³.

Так как геометрический объем слитка ($V_{геом}$) больше, чем фактический объем меди в нем ($V_{факт}$), это означает, что внутри слитка есть пустое пространство (пустоты).

$3750 \text{ см}^3 > 3555,56 \text{ см}^3$

Ответ: Внутри слитка есть пустоты.

805. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды $SABC$, если $SA = SB = SC = 8$ см, $\angle ASB = \angle ASC = \angle CSB = 45^\circ$.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей ее боковых граней. В данном случае боковыми гранями являются треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$.

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAC} + S_{\triangle SBC}$

Согласно условию задачи, все боковые ребра пирамиды равны ($SA = SB = SC = 8$ см), и все плоские углы при вершине S также равны ($\angle ASB = \angle ASC = \angle CSB = 45°$).

Это означает, что боковые грани пирамиды — треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$ — являются равными между собой по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, их площади равны, и для нахождения площади боковой поверхности достаточно найти площадь одной из граней и умножить ее на три.

$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SAB}$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Применим эту формулу для треугольника $\triangle SAB$:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB)$

Подставим известные значения:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(45°) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$ см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = 3 \cdot 16\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ см².

Ответ: $48\sqrt{2}$ см².

806. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды $SABCD$, если $SA = SB = SC = SD = 6$ см, $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = 30^\circ$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней. В данном случае боковыми гранями являются четыре треугольника: $\triangle ASB$, $\triangle BSC$, $\triangle CSD$ и $\triangle ASD$.

Согласно условию задачи, все боковые ребра пирамиды равны между собой ($SA = SB = SC = SD = 6$ см), и все плоские углы при вершине S также равны ($\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = 30^\circ$).

Рассмотрим боковые грани. Каждая из них является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами по 6 см и углом между ними $30^\circ$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все четыре боковых грани-треугольника равны между собой: $\triangle ASB \cong \triangle BSC \cong \triangle CSD \cong \triangle ASD$.

Следовательно, площади этих треугольников также равны. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, достаточно вычислить площадь одной из граней и умножить результат на 4.

Вычислим площадь треугольника $\triangle ASB$ по формуле площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$.

В нашем случае стороны $a = SA = 6$ см, $b = SB = 6$ см, а угол между ними $\gamma = \angle ASB = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:
$S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:
$S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = \frac{36}{4} = 9$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех одинаковых треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle ASB} = 4 \cdot 9 = 36$ см$^2$.

Ответ: 36 см$^2$.

807. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 10 см, а одна из диагоналей – 16 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 11 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб. Для нахождения объёма нам нужно сначала вычислить площадь этого ромба. Дано: сторона ромба $a = 10$ см, одна из диагоналей $d_1 = 16$ см, высота пирамиды $H = 11$ см.

Площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Нам нужно найти вторую диагональ $d_2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — это половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$).

Используем теорему Пифагора для одного из этих треугольников: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$.

Нам известна сторона $a=10$ см и одна диагональ $d_1=16$ см. Значит, половина этой диагонали равна $\frac{16}{2} = 8$ см. Подставим известные значения в уравнение:

$10^2 = 8^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$100 = 64 + (\frac{d_2}{2})^2$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 64 = 36$

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{36} = 6$ см

Таким образом, вся вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь ромба (основания пирамиды):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см².

Наконец, вычислим объём пирамиды, зная площадь основания $S_{осн} = 96$ см² и высоту $H = 11$ см:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 11 = 32 \cdot 11 = 352$ см³.

Ответ: $352$ см³.