Страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

819. Найдите площадь поверхности и объём шара, радиус которого равен 3 см.

Площадь поверхности
Для нахождения площади поверхности шара используется формула: $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.
По условию задачи, радиус шара $R = 3$ см.
Подставим данное значение радиуса в формулу:
$S = 4 \cdot \pi \cdot (3)^2 = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi$ (см$^2$).
Ответ: площадь поверхности шара равна $36\pi \text{ см}^2$.

Объём
Для нахождения объёма шара используется формула: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.
По условию задачи, радиус шара $R = 3$ см.
Подставим данное значение радиуса в формулу:
$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3)^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 4 \cdot \pi \cdot \frac{27}{3} = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi$ (см$^3$).
Ответ: объём шара равен $36\pi \text{ см}^3$.

820. Масса 10 м медного провода кругового сечения равна 106,8 г. Найдите диаметр провода, если плотность меди составляет $8,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу для массы тела через его плотность и объем: $m = \rho \cdot V$, где $m$ - масса, $\rho$ - плотность, а $V$ - объем.

Медный провод представляет собой цилиндр. Его объем $V$ можно вычислить как произведение площади поперечного сечения $S$ на длину $l$: $V = S \cdot l$. Так как сечение провода круговое, его площадь $S$ связана с диаметром $d$ по формуле: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Объединяя эти формулы, мы можем выразить массу провода через его геометрические параметры и плотность материала:
$m = \rho \cdot S \cdot l = \rho \cdot \frac{\pi d^2 l}{4}$.

Из этого соотношения выразим искомую величину — диаметр провода $d$:
$d^2 = \frac{4m}{\pi \rho l}$
$d = \sqrt{\frac{4m}{\pi \rho l}}$

Перед выполнением расчетов приведем все исходные данные к Международной системе единиц (СИ):
Длина провода: $l = 10 \text{ м}$.
Плотность меди: $\rho = 8,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м³}$.
Масса провода: $m = 106,8 \text{ г} = 0,1068 \text{ кг}$.

Теперь подставим числовые значения в выведенную формулу для диаметра:
$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,1068 \text{ кг}}{\pi \cdot (8,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м³}) \cdot 10 \text{ м}}} \approx \sqrt{\frac{0,4272}{3,14159 \cdot 89000}} \text{ м}$
$d \approx \sqrt{\frac{0,4272}{279601,7}} \text{ м} \approx \sqrt{1,5279 \cdot 10^{-6}} \text{ м} \approx 1,236 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

Для наглядности переведем результат в миллиметры ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$) и округлим до сотых:
$d \approx 1,236 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,236 \text{ мм} \approx 1,24 \text{ мм}$.

Ответ: $1,24 \text{ мм}$.

821. Определите давление кирпичной колонны цилиндрической формы высотой 3 м на фундамент, если диаметр колонны равен 1,2 м, а масса 1 $м^3$ кирпича равна 1,8 т.

Дано:

Высота колонны, $h = 3$ м

Диаметр колонны, $d = 1,2$ м

Плотность кирпича, $\rho = 1,8$ т/м³

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

Давление колонны на фундамент, $P$

Решение:

1. Сначала переведем значение плотности кирпича в систему СИ (килограммы на кубический метр):

$\rho = 1,8 \frac{т}{м^3} = 1,8 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} = 1800 \frac{кг}{м^3}$

2. Давление, которое твердое тело оказывает на опору, вычисляется по формуле:

$P = \frac{F}{S}$

где $F$ – сила, с которой тело действует на опору, а $S$ – площадь опоры.

3. Сила $F$, с которой колонна давит на фундамент, равна ее весу. Вес вычисляется по формуле:

$F = m \cdot g$

где $m$ – масса колонны, $g$ – ускорение свободного падения.

4. Массу колонны можно найти, зная её объём $V$ и плотность $\rho$:

$m = \rho \cdot V$

5. Поскольку колонна имеет форму цилиндра, её объём равен произведению площади основания $S$ на высоту $h$:

$V = S \cdot h$

6. Теперь объединим эти формулы. Подставим выражение для массы в формулу силы:

$F = (\rho \cdot V) \cdot g = (\rho \cdot S \cdot h) \cdot g$

7. Подставим полученное выражение для силы $F$ в формулу для давления:

$P = \frac{F}{S} = \frac{\rho \cdot S \cdot h \cdot g}{S}$

8. В этой формуле площадь основания $S$ сокращается. Это означает, что давление, создаваемое колонной, не зависит от её диаметра (и площади основания), а зависит только от высоты и плотности материала. Итоговая формула для расчёта давления столба вещества:

$P = \rho \cdot g \cdot h$

9. Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчет:

$P = 1800 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{Н}{кг} \cdot 3 \text{ м} = 54000 \frac{Н}{м^2} = 54000 \text{ Па}$

Полученное значение можно также выразить в килопаскалях: $54000 \text{ Па} = 54 \text{ кПа}$.

Ответ: 54000 Па.

822. Диаметр основания конуса равен 16 см, а его образующая – 17 см.

Найдите площадь поверхности и объём конуса.

По условию задачи даны диаметр основания конуса $d = 16$ см и его образующая $l = 17$ см.

Для дальнейших расчетов найдем радиус основания ($r$) и высоту конуса ($h$).

1. Радиус основания равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Высота конуса ($h$), радиус основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора $l^2 = r^2 + h^2$ найдем высоту:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, зная все необходимые параметры, можем вычислить площадь поверхности и объём конуса.

Площадь поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см$^2$.
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$ см$^2$.
Следовательно, площадь полной поверхности конуса равна:
$S_{полн} = 64\pi + 136\pi = 200\pi$ см$^2$.
Ответ: $200\pi$ см$^2$.

Объём конуса

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Подставим найденные значения радиуса и высоты:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi$ см$^3$.
Ответ: $320\pi$ см$^3$.

823. Прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса, образовавшегося при этом.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. По условию задачи, катеты равны 12 см и 16 см, а вращение происходит вокруг меньшего катета.

Следовательно, высота конуса $h$ будет равна длине меньшего катета, а радиус основания $r$ — длине большего катета. Образующая конуса $l$ будет равна гипотенузе исходного треугольника.
Высота конуса: $h = 12$ см.
Радиус основания конуса: $r = 16$ см.

Найдем длину образующей $l$ (гипотенузу треугольника) по теореме Пифагора:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
Подставим известные значения:
$S_{бок} = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi$ см².
Ответ: $320\pi$ см².

Объём конуса

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
Подставим известные значения:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 256 \cdot 12 = \pi \cdot 256 \cdot 4 = 1024\pi$ см³.
Ответ: $1024\pi$ см³.

824. Зерно ссыпали в горку конической формы высотой 1,2 м. Какова масса этой горки зерна, если радиус её основания равен 2 м, а масса $1 \text{ м}^3$ зерна составляет 750 кг?

Чтобы найти массу горки зерна, необходимо сначала вычислить её объём, а затем умножить полученный объём на массу одного кубического метра зерна (плотность).

1. Найдём объём горки. Горка имеет форму конуса, объём которого ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Согласно условию задачи:

• Высота $h = 1,2$ м;
• Радиус основания $r = 2$ м.

Подставим эти значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (2)^2 \cdot 1,2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 1,2 = \frac{4,8 \pi}{3} = 1,6 \pi$ м³.

2. Найдём массу зерна. Масса ($m$) равна произведению объёма на плотность ($\rho$):

$m = V \cdot \rho$

По условию, масса 1 м³ зерна составляет 750 кг, следовательно, плотность $\rho = 750$ кг/м³.

Вычислим массу всей горки:

$m = 1,6 \pi \cdot 750 = 1200 \pi$ кг.

Для получения приближенного значения можно использовать $\pi \approx 3,14$:

$m \approx 1200 \cdot 3,14 = 3768$ кг.

Ответ: $1200\pi$ кг (приблизительно 3768 кг).

825. Жидкость из полностью заполненного сосуда конической формы, высота которого равна $24 \text{ см}$, а радиус основания – $6 \text{ см}$, перелили в сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого равен $8 \text{ см}$. Определите высоту уровня жидкости в сосуде цилиндрической формы.

Для решения задачи воспользуемся тем, что объем жидкости при переливании из одного сосуда в другой не изменяется. Таким образом, объем жидкости, который был в коническом сосуде, равен объему жидкости в цилиндрическом сосуде.

1. Сначала найдем объем жидкости, который равен объему полностью заполненного конического сосуда. Формула для объема конуса:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R_{конуса}^2 h_{конуса}$

По условию, высота конуса $h_{конуса} = 24$ см, а радиус его основания $R_{конуса} = 6$ см.

Подставим значения в формулу:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \cdot (6)^2 \cdot 24 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 24 = 12\pi \cdot 24 = 288\pi$ см³.

2. Теперь рассмотрим цилиндрический сосуд. Объем жидкости в нем равен объему конуса, то есть $V_{жидкости} = 288\pi$ см³. Формула для объема цилиндра (или части, заполненной жидкостью):$V_{цилиндра} = \pi R_{цилиндра}^2 h_{цилиндра}$

По условию, радиус основания цилиндра $R_{цилиндра} = 8$ см. Нам нужно найти высоту уровня жидкости $h_{цилиндра}$.

Приравняем объем жидкости к формуле объема для цилиндра:$288\pi = \pi \cdot (8)^2 \cdot h_{цилиндра}$$288\pi = \pi \cdot 64 \cdot h_{цилиндра}$

Для нахождения $h_{цилиндра}$ разделим обе части уравнения на $64\pi$:$h_{цилиндра} = \frac{288\pi}{64\pi} = \frac{288}{64}$

Выполним деление:$h_{цилиндра} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

826. Стого сена имеет форму цилиндра с коническим верхом (рис. 285). Радиус основания стога равен 1,5 м, высота – 3 м, причём высота цилиндрической части стога – 2,4 м. Найдите массу стога, если масса $1 \text{ м}^3$ сена составляет 30 кг.

Чтобы найти массу стога сена, необходимо сначала вычислить его объём. Стог состоит из двух частей: цилиндра и конуса.

1. Определение размеров частей стога.

Дано: радиус основания (одинаковый для цилиндра и конуса) $r = 1,5$ м, общая высота стога $H = 3$ м, высота цилиндрической части $h_{цил} = 2,4$ м.

Высоту конической части $h_{кон}$ можно найти, вычтя высоту цилиндра из общей высоты:

$h_{кон} = H - h_{цил} = 3 - 2,4 = 0,6$ м.

2. Вычисление объёма цилиндрической части.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$.

$V_{цил} = \pi \cdot (1,5)^2 \cdot 2,4 = \pi \cdot 2,25 \cdot 2,4 = 5,4\pi$ м³.

3. Вычисление объёма конической части.

Объём конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot (1,5)^2 \cdot 0,6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2,25 \cdot 0,6 = \pi \cdot 2,25 \cdot 0,2 = 0,45\pi$ м³.

4. Нахождение общего объёма стога.

Общий объём $V_{общ}$ равен сумме объёмов цилиндра и конуса:

$V_{общ} = V_{цил} + V_{кон} = 5,4\pi + 0,45\pi = 5,85\pi$ м³.

5. Вычисление массы стога.

Масса 1 м³ сена составляет 30 кг. Чтобы найти массу всего стога, нужно умножить его объём на плотность сена. Примем значение $\pi \approx 3,14$.

$m = V_{общ} \cdot 30 = 5,85\pi \cdot 30 = 175,5\pi$ кг.

$m \approx 175,5 \cdot 3,14 \approx 551,07$ кг.

Ответ: масса стога примерно 551,07 кг.

Пусть начальный радиус шара равен $R$. Тогда его начальная площадь поверхности $S_1$ и объём $V_1$ вычисляются по формулам:

$S_1 = 4\pi R^2$

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$

Если радиус увеличить в 2 раза, новый радиус $R_2$ будет равен $2R$.

Изменение площади поверхности:

Новая площадь поверхности $S_2$ будет равна:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (2R)^2 = 4\pi (4R^2) = 16\pi R^2$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь, найдём отношение $S_2$ к $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi R^2}{4\pi R^2} = 4$.

Таким образом, площадь поверхности шара увеличится в 4 раза.

Изменение объёма:

Новый объём $V_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2R)^3 = \frac{4}{3}\pi (8R^3) = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)$.

Найдём отношение $V_2$ к $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = 8$.

Таким образом, объём шара увеличится в 8 раз.

Ответ: площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объём увеличится в 8 раз.

Обозначим радиусы шаров как $R_1 = 3$ см и $R_2 = 4$ см.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату отношения их радиусов. Найдём отношение площади поверхности первого шара ($S_1$) ко второму ($S_2$):

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$.

Подставим значения радиусов в полученное выражение:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.

Таким образом, отношение площадей поверхностей равно 9 к 16.

Ответ: 9:16.

827. Как изменятся площадь поверхности и объём шара, если его радиус увеличить в 2 раза?

Для решения этой задачи рассмотрим, как зависят площадь поверхности и объём шара от его радиуса.

Площадь поверхности

Формула для площади поверхности шара $S$ с радиусом $R$ выглядит следующим образом:

$S = 4\pi R^2$

Пусть первоначальный радиус шара равен $R_1$. Тогда его площадь поверхности $S_1$ равна:

$S_1 = 4\pi R_1^2$

По условию, радиус увеличили в 2 раза. Новый радиус $R_2$ будет равен:

$R_2 = 2R_1$

Теперь вычислим новую площадь поверхности $S_2$ с новым радиусом $R_2$:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (2R_1)^2 = 4\pi (4R_1^2) = 4 \cdot (4\pi R_1^2)$

Так как $S_1 = 4\pi R_1^2$, мы можем записать:

$S_2 = 4S_1$

Это означает, что площадь поверхности шара увеличится в 4 раза.

Ответ: площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Объём

Формула для объёма шара $V$ с радиусом $R$ выглядит следующим образом:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Пусть первоначальный радиус шара равен $R_1$. Тогда его объём $V_1$ равен:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Новый радиус $R_2$ в 2 раза больше первоначального:

$R_2 = 2R_1$

Вычислим новый объём $V_2$ с новым радиусом $R_2$:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (8R_1^3) = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R_1^3)$

Так как $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$, мы можем записать:

$V_2 = 8V_1$

Это означает, что объём шара увеличится в 8 раз.

Ответ: объём увеличится в 8 раз.

828. Радиус одного шара равен 3 см, а другого – 4 см. Найдите отношение площадей поверхностей и отношение объёмов данных шаров.

Пусть радиус первого шара $R_1 = 3$ см, а радиус второго шара $R_2 = 4$ см.

Отношение площадей поверхностей

Площадь поверхности шара ($S$) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Найдем отношение площадей поверхностей двух шаров. Оно равно отношению квадратов их радиусов:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Подставим числовые значения радиусов:
$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Ответ: 9:16.

Отношение объёмов

Объём шара ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Найдем отношение объёмов двух шаров. Оно равно отношению кубов их радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

Подставим числовые значения радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$

Ответ: 27:64.

829. Диаметр внешней сферы железного пустотелого шара равен 12 см, а диаметр внутренней сферы – 10 см. Найдите массу шара, если плотность железа равна $7,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Для того чтобы найти массу железного пустотелого шара, необходимо сначала вычислить его объем, а затем умножить на плотность железа. Масса, плотность и объем связаны формулой:

$m = \rho \cdot V$

где $m$ – масса, $\rho$ – плотность, а $V$ – объем.

Объем материала, из которого сделан пустотелый шар, равен разности объемов внешней и внутренней сфер.

Объем сферы вычисляется по формуле $V_{сферы} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – это радиус сферы.

Таким образом, объем железа в шаре равен:

$V = V_{внеш} - V_{внутр} = \frac{4}{3}\pi R_{внеш}^3 - \frac{4}{3}\pi R_{внутр}^3 = \frac{4}{3}\pi (R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3)$

1. Найдем радиусы и переведем их в метры, так как плотность дана в кг/м³.

• Диаметр внешней сферы $D_{внеш} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.
  Радиус внешней сферы $R_{внеш} = \frac{D_{внеш}}{2} = \frac{0.12 \text{ м}}{2} = 0.06 \text{ м}$.
• Диаметр внутренней сферы $D_{внутр} = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$.
  Радиус внутренней сферы $R_{внутр} = \frac{D_{внутр}}{2} = \frac{0.10 \text{ м}}{2} = 0.05 \text{ м}$.

2. Вычислим объем железа в шаре.

Подставим значения радиусов в формулу для объема:

$V = \frac{4}{3}\pi ((0.06 \text{ м})^3 - (0.05 \text{ м})^3)$

$V = \frac{4}{3}\pi (0.000216 \text{ м}^3 - 0.000125 \text{ м}^3)$

$V = \frac{4}{3}\pi (0.000091 \text{ м}^3)$

3. Вычислим массу шара.

Плотность железа дана: $\rho = 7.9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 = 7900 \text{ кг/м}^3$.

Теперь найдем массу, используя значения плотности и вычисленного объема:

$m = 7900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{4}{3}\pi (0.000091 \text{ м}^3)$

$m = \frac{7900 \cdot 4 \cdot \pi \cdot 0.000091}{3} \text{ кг}$

Выполним вычисления (используя $\pi \approx 3.14159$):

$m \approx \frac{2.8756 \cdot \pi}{3} \text{ кг} \approx \frac{9.03388}{3} \text{ кг} \approx 3.011 \text{ кг}$

Округляя до сотых, получаем 3,01 кг.

Ответ: масса шара примерно равна 3,01 кг.

830. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а его площадь – 210 $см^2$. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 17$ см и $b = 28$ см, а площадь $S = 210$ см². Требуется найти третью сторону $c$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними. Пусть $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Тогда формула площади: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

Подставим известные значения в формулу и найдем $\sin \gamma$: $210 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 28 \cdot \sin \gamma$ $210 = 17 \cdot 14 \cdot \sin \gamma$ $210 = 238 \cdot \sin \gamma$ $\sin \gamma = \frac{210}{238} = \frac{15 \cdot 14}{17 \cdot 14} = \frac{15}{17}$

Зная синус угла, можно найти его косинус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$: $\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma$ $\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$ $\cos \gamma = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$

Поскольку косинус может быть как положительным (для острого угла), так и отрицательным (для тупого угла), возможны два решения. Найдем третью сторону $c$ для каждого случая, используя теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Сначала вычислим общую часть формулы: $c^2 = 17^2 + 28^2 - 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \cos \gamma$ $c^2 = 289 + 784 - 952 \cos \gamma$ $c^2 = 1073 - 952 \cos \gamma$

Случай 1: Угол $\gamma$ — острый ($\cos \gamma = \frac{8}{17}$) $c^2 = 1073 - 952 \cdot \frac{8}{17}$ $c^2 = 1073 - (952:17) \cdot 8$ $c^2 = 1073 - 56 \cdot 8$ $c^2 = 1073 - 448$ $c^2 = 625$ $c = \sqrt{625} = 25$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ — тупой ($\cos \gamma = -\frac{8}{17}$) $c^2 = 1073 - 952 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right)$ $c^2 = 1073 + 952 \cdot \frac{8}{17}$ $c^2 = 1073 + 56 \cdot 8$ $c^2 = 1073 + 448$ $c^2 = 1521$ $c = \sqrt{1521} = 39$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для длины третьей стороны.

Ответ: 25 см или 39 см.

831. Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс, радиус равен 5, и которая проходит через точку $M (1; 4)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Из условия задачи известно, что центр окружности принадлежит оси абсцисс. Это означает, что ордината центра равна нулю, то есть $y_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(x_0; 0)$. Уравнение окружности принимает вид:

$(x - x_0)^2 + y^2 = R^2$

Также по условию, радиус окружности $R$ равен 5. Следовательно, $R^2 = 5^2 = 25$. Подставим это значение в уравнение:

$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$

Нам известно, что окружность проходит через точку $M$ с координатами $(1; 4)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = 1$ и $y = 4$ в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную абсциссу центра $x_0$:

$(1 - x_0)^2 + 4^2 = 25$

Решим это уравнение относительно $x_0$:

$(1 - x_0)^2 + 16 = 25$

$(1 - x_0)^2 = 25 - 16$

$(1 - x_0)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

1) $1 - x_0 = 3$
$x_0 = 1 - 3$
$x_0 = -2$

2) $1 - x_0 = -3$
$x_0 = 1 - (-3)$
$x_0 = 1 + 3$
$x_0 = 4$

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

В первом случае центр окружности находится в точке $(-2; 0)$, и ее уравнение:

$(x - (-2))^2 + y^2 = 25$
$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

Во втором случае центр окружности находится в точке $(4; 0)$, и ее уравнение:

$(x - 4)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ или $(x - 4)^2 + y^2 = 25$.