Номер 826, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

826. Стого сена имеет форму цилиндра с коническим верхом (рис. 285). Радиус основания стога равен 1,5 м, высота – 3 м, причём высота цилиндрической части стога – 2,4 м. Найдите массу стога, если масса $1 \text{ м}^3$ сена составляет 30 кг.

Чтобы найти массу стога сена, необходимо сначала вычислить его объём. Стог состоит из двух частей: цилиндра и конуса.

1. Определение размеров частей стога.

Дано: радиус основания (одинаковый для цилиндра и конуса) $r = 1,5$ м, общая высота стога $H = 3$ м, высота цилиндрической части $h_{цил} = 2,4$ м.

Высоту конической части $h_{кон}$ можно найти, вычтя высоту цилиндра из общей высоты:

$h_{кон} = H - h_{цил} = 3 - 2,4 = 0,6$ м.

2. Вычисление объёма цилиндрической части.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил}$.

$V_{цил} = \pi \cdot (1,5)^2 \cdot 2,4 = \pi \cdot 2,25 \cdot 2,4 = 5,4\pi$ м³.

3. Вычисление объёма конической части.

Объём конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон}$.

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot (1,5)^2 \cdot 0,6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 2,25 \cdot 0,6 = \pi \cdot 2,25 \cdot 0,2 = 0,45\pi$ м³.

4. Нахождение общего объёма стога.

Общий объём $V_{общ}$ равен сумме объёмов цилиндра и конуса:

$V_{общ} = V_{цил} + V_{кон} = 5,4\pi + 0,45\pi = 5,85\pi$ м³.

5. Вычисление массы стога.

Масса 1 м³ сена составляет 30 кг. Чтобы найти массу всего стога, нужно умножить его объём на плотность сена. Примем значение $\pi \approx 3,14$.

$m = V_{общ} \cdot 30 = 5,85\pi \cdot 30 = 175,5\pi$ кг.

$m \approx 175,5 \cdot 3,14 \approx 551,07$ кг.

Ответ: масса стога примерно 551,07 кг.

Пусть начальный радиус шара равен $R$. Тогда его начальная площадь поверхности $S_1$ и объём $V_1$ вычисляются по формулам:

$S_1 = 4\pi R^2$

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$

Если радиус увеличить в 2 раза, новый радиус $R_2$ будет равен $2R$.

Изменение площади поверхности:

Новая площадь поверхности $S_2$ будет равна:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (2R)^2 = 4\pi (4R^2) = 16\pi R^2$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилась площадь, найдём отношение $S_2$ к $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi R^2}{4\pi R^2} = 4$.

Таким образом, площадь поверхности шара увеличится в 4 раза.

Изменение объёма:

Новый объём $V_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2R)^3 = \frac{4}{3}\pi (8R^3) = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)$.

Найдём отношение $V_2$ к $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8 \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = 8$.

Таким образом, объём шара увеличится в 8 раз.

Ответ: площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объём увеличится в 8 раз.

Обозначим радиусы шаров как $R_1 = 3$ см и $R_2 = 4$ см.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату отношения их радиусов. Найдём отношение площади поверхности первого шара ($S_1$) ко второму ($S_2$):

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$.

Подставим значения радиусов в полученное выражение:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.

Таким образом, отношение площадей поверхностей равно 9 к 16.

Ответ: 9:16.