Номер 832, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

832. Две стороны треугольника равны 4 см и 10 см, а синус угла между ними равен $ \frac{4}{5} $. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a = 4$ см, $b = 10$ см, а $\gamma$ — угол между этими сторонами. Требуется найти сторону $c$.

По условию, синус угла $\gamma$ равен $\sin(\gamma) = \frac{4}{5}$.

Для нахождения третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Сначала найдем значение $\cos(\gamma)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$. $\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $\cos(\gamma) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный), необходимо рассмотреть оба случая.

Случай 1: Угол $\gamma$ острый
В этом случае $\cos(\gamma) = \frac{3}{5}$. Подставим значения в теорему косинусов: $c^2 = 4^2 + 10^2 - 2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5}$ $c^2 = 16 + 100 - 80 \cdot \frac{3}{5}$ $c^2 = 116 - 16 \cdot 3$ $c^2 = 116 - 48 = 68$ $c = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ тупой
В этом случае $\cos(\gamma) = -\frac{3}{5}$. Подставим значения в теорему косинусов: $c^2 = 4^2 + 10^2 - 2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$ $c^2 = 16 + 100 + 80 \cdot \frac{3}{5}$ $c^2 = 116 + 16 \cdot 3$ $c^2 = 116 + 48 = 164$ $c = \sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $2\sqrt{17}$ см или $2\sqrt{41}$ см.