Номер 839, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

839. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AD = 8$ см, $CD = 4\sqrt{3}$ см. Окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, пересекает прямую $AD$ в точке $K$, $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите отрезок $BK$.

Поскольку точки $A$, $B$, $C$ и $K$ по условию лежат на одной окружности, то четырехугольник $ABCK$ является вписанным в эту окружность.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ принадлежит прямой $AD$, то прямая $AK$ совпадает с прямой $AD$, и, следовательно, $BC \parallel AK$.

Таким образом, четырехугольник $ABCK$ является трапецией, у которой основания $BC$ и $AK$ параллельны. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Отсюда следует, что $ABCK$ — равнобедренная трапеция.

Одним из свойств равнобедренной трапеции является равенство ее диагоналей. Значит, $BK = AC$. Для решения задачи достаточно найти длину диагонали $AC$.

Рассмотрим вписанные в окружность углы. Углы $\angle AKB$ и $\angle ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. По свойству вписанных углов, они равны. Из условия известно, что $\angle AKB = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle ACB$ также равен $60^{\circ}$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны. Таким образом, $\angle CAD = \angle ACB = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны длины двух его сторон $AD = 8$ см и $CD = 4\sqrt{3}$ см, а также угол $\angle CAD = 60^{\circ}$, который противолежит стороне $CD$. Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов для треугольника $ACD$ записывается так:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

Подставим известные значения в это уравнение:

$(4\sqrt{3})^2 = AC^2 + 8^2 - 2 \cdot AC \cdot 8 \cdot \cos(60^{\circ})$

Выполним вычисления:

$48 = AC^2 + 64 - 16 \cdot AC \cdot \frac{1}{2}$

$48 = AC^2 + 64 - 8 \cdot AC$

Перенесем все члены уравнения в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $AC$:

$AC^2 - 8 \cdot AC + 64 - 48 = 0$

$AC^2 - 8 \cdot AC + 16 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности:

$(AC - 4)^2 = 0$

Отсюда находим, что $AC = 4$ см.

Так как ранее мы установили, что $BK = AC$, то длина искомого отрезка $BK$ равна 4 см.

Ответ: 4 см.