Номер 845, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

845. Найдите отношение сторон равнобедренного треугольника, один из углов которого равен $120^\circ$.

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим его боковые (равные) стороны как $a$, а основание как $b$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Рассмотрим два возможных случая расположения угла в $120^{\circ}$.

1. Если угол при основании равен $120^{\circ}$, то второй угол при основании также равен $120^{\circ}$. Их сумма уже составляет $120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. Такой треугольник не может существовать.

2. Следовательно, угол в $120^{\circ}$ — это угол при вершине, то есть угол между равными сторонами $a$.Тогда углы при основании равны и их величина составляет:$$(180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$$Таким образом, углы треугольника равны $30^{\circ}$, $30^{\circ}$ и $120^{\circ}$.

Для нахождения отношения сторон воспользуемся теоремой косинусов. Для стороны $b$, лежащей напротив угла $120^{\circ}$, теорема косинусов записывается так:$$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^{\circ})$$$$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(120^{\circ})$$Значение косинуса $120^{\circ}$ равно:$$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -1/2$$Подставим это значение в формулу:$$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-1/2)$$$$b^2 = 2a^2 + a^2$$$$b^2 = 3a^2$$Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем (поскольку длина стороны — положительная величина):$$b = a\sqrt{3}$$

Таким образом, стороны треугольника равны $a$, $a$ и $a\sqrt{3}$. Их отношение равно:$$a : a : a\sqrt{3}$$Разделив все части отношения на $a$, получим:$$1 : 1 : \sqrt{3}$$Это отношение боковой стороны к боковой стороне и к основанию.

Ответ: $1 : 1 : \sqrt{3}$.